Окружность - от Эратосфена до GPS

240 до н.э. Александрия. Эратосфен читает, что в Сиене в полдень солнце отражается в колодцах вертикально - тени нет. В Александрии тень есть. Два угла, одна окружность, расстояние между городами - и радиус Земли точнее, чем у многих средневековых учёных. Погрешность 2%. Сегодня GPS знает координаты через пересечение четырёх сфер - окружностей в 3D. Каждый спутник даёт одну. Четыре дают точку. Геометрия окружности буквально лежит в кармане.

• **GPS-триангуляция:** позиция = пересечение 4 сфер, каждая задаётся уравнением окружности в 3D - (x-xi)^2 + (y-yi)^2 + (z-zi)^2 = di^2
• **Игровые движки:** circle-circle collision через d^2 < (r1+r2)^2 - O(1) без sqrt, работает на 60+ fps
• **Monte Carlo pi:** случайные точки в квадрате, доля внутри круга умноженная на 4 стремится к pi - основа методов Монте-Карло
• **Computer graphics:** алгоритм Брезенхема рисует окружность целочисленными операциями через инвариант вписанного угла

Предварительные знания

• Многоугольники

Уравнение окружности и GPS-интерпретация

240 до н.э. Александрия. Эратосфен читает, что в Сиене в полдень солнце отражается в колодцах вертикально - тени нет. В Александрии тень есть. Два угла, одна окружность, расстояние между городами - и радиус Земли точнее, чем у многих средневековых учёных. Погрешность - 2%. Инструмент: определение окружности как множества точек, равноудалённых от одной.

**Стандартное уравнение:** (x - a)² + (y - b)² = r² **Развёрнутая форма:** x² + y² + Dx + Ey + F = 0 Центр: (-D/2, -E/2), радиус: r² = D²/4 + E²/4 - F **Тест точки:** < r² - внутри, = r² - на окружности, > r² - снаружи

GPS знает координаты через пересечение окружностей - сфер в пространстве. Каждый спутник даёт одну сферу: множество точек на расстоянии d от спутника. Четыре спутника дают четыре сферы - их пересечение это точка. Геометрия окружности буквально лежит в кармане.

В игровых движках circle-circle collision: сравнивай d² с (r1+r2)² - без sqrt примерно вдвое быстрее в tight loop на 60 fps.

Хорда, дуга и вписанный угол

Хорда соединяет две точки окружности. Дуга - часть окружности между ними. Вписанный угол имеет вершину на окружности и опирается на дугу. Центральный угол опирается на ту же дугу из центра. Связь неожиданная: вписанный вдвое меньше центрального, и это не зависит от того, где именно на окружности стоит вершина.

**Теорема о вписанном угле:** вписанный угол = 1/2 * центральный угол на той же дуге ∠BAC (вписанный) = 1/2 * ∠BOC (центральный) **Теорема Фалеса:** угол, вписанный в полуокружность (опирающийся на диаметр) = 90°.

Теорема Фалеса - фундамент компьютерной графики. Алгоритм Брезенхема рисует окружность целочисленными операциями, используя именно инвариантность угла: не важно из какой точки смотреть на диаметр - угол всегда прямой. Rasterization в GPU эксплуатирует эту симметрию.

Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны - прямое следствие теоремы о вписанном угле. Это не совпадение, а инвариант.

Касательная - перпендикуляр к радиусу

Касательная к окружности - прямая, имеющая с ней ровно одну общую точку. Ключевое свойство: касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. Это не аксиома, а теорема - и она работает в любом масштабе, от чертёжной линейки до орбитальной механики.

**Уравнение касательной** к окружности x² + y² = r² в точке (x₀, y₀): x*x₀ + y*y₀ = r² **Длина касательной** из внешней точки P(px, py) к окружности с центром (a, b) и радиусом r: t = sqrt((px-a)² + (py-b)² - r²)

Monte Carlo вычисление pi: бросают случайные точки в единичный квадрат, считают попавшие внутрь единичного круга. Доля умноженная на 4 стремится к pi. GPS использует тот же принцип наоборот - вместо случайных точек система уравнений, вместо квадрата - сферы. Касательная к каждой сфере задаёт плоскость неопределённости.

Степень точки - инвариант окружности

Степень точки P относительно окружности - величина d² - r², где d - расстояние от P до центра. Положительна для внешних точек, нулевая для точек на окружности, отрицательная для внутренних. Это не просто число - это инвариант: через одну точку проводят разные секущие, и произведение отрезков всегда одно и то же.

**Теорема о степени точки:** если через P проходят две секущие, пересекающие окружность в точках A, B и C, D: PA * PB = PC * PD = |степень точки P| Для касательной PT: PT² = PA * PB

UMAP и другие алгоритмы manifold learning строят low-dimensional представления через локальные расстояния. Под капотом - идея, аналогичная степени точки: инвариант расстояния, который сохраняется при проекции на многообразие. Геометрия окружности - не школьный курс, это язык, на котором говорит современный ML.

Степень точки как signed distance function: отрицательная внутри, положительная снаружи. Level-set методы в computer vision работают именно с такой функцией - только для сложных контуров, а не только для окружностей.

Ключевые идеи

• **Уравнение:** (x-a)² + (y-b)² = r² - точка на окружности; тест: сравниваем d² с r², без sqrt
• **Вписанный угол** = половина центрального; угол в полуокружности = 90° (теорема Фалеса) - инвариант независимо от позиции вершины
• **Касательная** перпендикулярна радиусу; длина из внешней точки t = sqrt(d² - r²); GPS использует это в 3D
• **Степень точки** PA*PB = PC*PD = PT² - инвариант для любых секущих через одну точку

Связанные темы

Окружность - основа для тел вращения, тригонометрии и проективной геометрии:

• Площади и периметры — Площадь круга pi*r² и длина окружности 2*pi*r - следующий шаг
• Тела вращения — Вращение окружности порождает сферу и тор
• Проективная геометрия — Инверсия относительно окружности и кросс-отношение

Вопросы для размышления

• Эратосфен измерил радиус Земли через угол тени и расстояние. Какое именно свойство окружности он использовал - и можно ли повторить этот эксперимент сегодня?
• GPS нужны 4 спутника, а не 3. Почему? Что даёт четвёртая сфера, которого нет в трёх?
• Степень точки отрицательна внутри окружности. Как это связано с signed distance function в computer vision?

Связанные уроки

• geo-05 — Площадь круга и длина окружности - прямое следствие
• geo-03 — Многоугольники и пропорции как база
• trig-01 — Вписанные углы и дуги - через синус и косинус
• calc-03-limits-intro — Длина окружности как предел периметров вписанных многоугольников
• prob-04-bayes — Monte Carlo: случайные точки в квадрате дают pi через окружность
• trig-03