Тригонометрические функции

1 сентября 1983. Рейс KAL-007, Boeing 747. Навигационный компьютер допустил ошибку в вычислении угла - самолёт отклонился на 300 км от курса и был сбит над СССР. 269 человек погибли из-за косинуса в шестом знаке. Сегодня GPS-спутник висит на высоте 20 200 км. Телефон знает его положение с точностью до метра - решая 4 тригонометрических уравнения за 100 миллисекунд. Эратосфен измерил радиус Земли в 240 году до н.э. с помощью одного синуса и двух городов. Та же математика - GPS с метровой точностью.

• **GPS и навигация** - триангуляция по 4 спутникам: каждое расстояние вычисляется через формулу гаверсинуса, производную от $\cos$. Ошибка в шестом знаке = промах на 20 метров
• **Обработка сигналов** - FFT (быстрое преобразование Фурье) раскладывает звук, Wi-Fi и 5G-сигнал на частоты через $\sin$/$\cos$. Без тригонометрии нет ни MP3, ни стриминга
• **Компьютерная графика** - матрица поворота в 3D содержит $\sin$ и $\cos$: каждый кадр любой игры или VR-сцены - тысячи тригонометрических вычислений в секунду
• **Машинное обучение** - позиционное кодирование в трансформерах (attention) использует $\sin(pos / 10000^{2i/d})$. Без него GPT не различает порядок слов

Синус (sin)

Спутник GPS в 20 200 км над землёй. Телефон получает сигнал и должен вычислить расстояние. Одно из четырёх уравнений, которое решается прямо сейчас у каждого навигатора в мире, содержит **sin(theta)** - отношение противолежащего катета к гипотенузе. Это не метафора. Метровая точность GPS физически невозможна без синуса.

**Свойства sin:** Область определения: все вещественные числа R. Область значений: [-1, 1]. Период: 2pi. Нечётная функция: sin(-x) = -sin(x). Нули: x = n*pi, n - целое.

Синус - это проекция. Точка движется по окружности с постоянной скоростью, её y-координата меняется как $\sin(t)$. Звук - точка на мембране динамика, описывающая окружность в воздухе. Переменный ток - ротор генератора, крутящийся в магнитном поле. Один и тот же физический механизм. Один и тот же $\sin$.

Косинус (cos)

**cos(theta)** - отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус - это тот же синус, сдвинутый на pi/2: cos(theta) = sin(theta + pi/2). Если синус - проекция на вертикальную ось, то косинус - проекция на горизонтальную.

**Свойства cos:** Область определения: R. Область значений: [-1, 1]. Период: 2pi. Чётная функция: cos(-x) = cos(x). Нули: x = pi/2 + n*pi. Косинус «опережает» синус на pi/2.

Косинус появляется в скалярном произведении: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}| \cdot \cos\theta$. В Transformer-архитектуре attention score между двумя токенами - это скалярное произведение их эмбеддингов, делённое на $\sqrt{d}$. $\cos(90°) = 0$ значит «нет связи», $\cos(0°) = 1$ значит «идентичны». Тысячи косинусов за один forward pass GPT.

Тангенс (tan)

$\tan(\theta) = \sin(\theta) / \cos(\theta)$ - отношение противолежащего катета к прилежащему. Тангенс описывает наклон прямой: если прямая образует угол $\theta$ с горизонталью, её наклон = $\tan(\theta)$. В нейронных сетях до 2017 года использовался $\tanh$ - гиперболический тангенс. В оптимизаторе Adam скрыта операция $\arctan$. Функция активации atan2 - в каждом шейдере 3D-графики.

**Свойства tan:** Область определения: R \ {pi/2 + n*pi} (вертикальные асимптоты, где cos = 0). Область значений: (-inf, +inf). Период: pi (не 2pi!). Нечётная: tan(-x) = -tan(x). Нули: x = n*pi.

Вертикальные асимптоты при $\theta = \pi/2 + n\pi$ - там $\cos(\theta) = 0$ и деление невозможно. При приближении к асимптоте тангенс уходит в $+\infty$ или $-\infty$. Период тангенса - $\pi$ (не $2\pi$): $\tan(\theta + \pi) = \tan(\theta)$. Это объясняет, почему камера в 3D-движке «переворачивается» при взгляде прямо вверх: угол достигает асимптоты.

Единичная окружность

Треугольник работает только для углов от 0° до 90°. Но $\sin(270°)$, $\cos(-45°)$, $\sin(7\pi)$ - всё это нужно инженерам каждый день. **Единичная окружность** решает проблему: точка на окружности радиуса 1, повёрнутая на угол $\theta$ от положительного направления оси $x$, имеет координаты $(\cos\theta,\, \sin\theta)$ для любого $\theta$ - отрицательного, больше $2\pi$, любого вещественного.

**Угол theta** измеряется в радианах: полный оборот = 2pi, pi = 180°. Положительное направление - против часовой стрелки. Угол может быть любым вещественным числом: отрицательным (по часовой), больше 2pi (несколько оборотов).

Единичная окружность объясняет всё сразу. Почему $\sin$ и $\cos$ периодичны с периодом $2\pi$: полный оборот - та же точка. Почему $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$: отражение по оси $x$ меняет знак $y$. Почему $\sin^2 + \cos^2 = 1$: это уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$. Позиционное кодирование в GPT использует именно эту периодичность: частота растёт с номером измерения, и модель «запоминает» позицию токена через координату на окружности.

Ключевые идеи

• **sin(theta)** = противолежащий / гипотенуза = y-координата на единичной окружности; волна с периодом $2\pi$
• **cos(theta)** = прилежащий / гипотенуза = x-координата; $\cos = \sin$ сдвинутый на $\pi/2$
• **tan(theta)** = sin/cos = наклон прямой; период $\pi$, вертикальные асимптоты при cos = 0
• **Единичная окружность** обобщает тригонометрию на все вещественные числа; $(\cos\theta, \sin\theta)$ - координаты точки; $\sin^2 + \cos^2 = 1$
• **От Эратосфена до GPS**: та же триангуляция, 2260 лет спустя - с метровой точностью вместо 2%

Связанные темы

Тригонометрические функции - фундамент для тождеств и обратных функций:

• Основные тождества — $\sin^2+\cos^2=1$ порождает все остальные тождества: двойной угол, сумма, полуугол
• Обратные тригонометрические функции — arcsin, arccos, arctan - обращение sin, cos, tan с ограничением области

Вопросы для размышления

• GPS-спутник движется со скоростью 3.9 км/с. За время передачи сигнала он смещается. Как тригонометрия позволяет учесть это при вычислении расстояния?
• Если определять $\sin$ через ряд Тейлора ($\sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - \ldots$), сколько членов нужно, чтобы вычислить $\sin(\pi/4)$ с точностью $10^{-6}$?
• В чём геометрический смысл формулы Эйлера $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ - и почему из неё сразу следует $e^{i\pi} + 1 = 0$?

Связанные уроки

• calc-03-limits-intro