Основные тождества

Каждое слово, которое читает GPT-4, кодируется через синус и косинус. Positional encoding - это тригонометрия из 8-го класса в 1024-мерном пространстве. А в 1965 году Кули и Тьюки опубликовали FFT - алгоритм, сделавший возможными MP3, JPEG, 5G и современную астрономию. Ядро - формулы сложения синусов, которым 400 лет. Вся эта цепочка начинается с одного равенства: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.

• **Трансформеры (GPT, LLaMA):** позиционное кодирование использует $\sin(pos/10000^{2i/d})$ - тригонометрия определяет порядок слов в каждом запросе к LLM
• **RoPE в LLaMA/Mistral:** формулы поворота через sin/cos кодируют относительные позиции токенов; attention score разворачивается через формулу cos(α - β)
• **JPEG и MP3:** DCT (дискретное косинусное преобразование) использует формулы понижения степени для компрессии - без них фото и аудио были бы в 10 раз больше
• **Обработка сигналов:** формулы сложения превращают произведение синусоид в сумму частот - основа AM/FM-модуляции, Wi-Fi, 5G

Предварительные знания

• Тригонометрические функции

Пифагорово тождество

В 1965 году Кули и Тьюки опубликовали алгоритм быстрого преобразования Фурье. Он сделал возможными MP3, JPEG, 5G, современную астрономию - и всё это держится на формулах тригонометрических тождеств, которым 400 лет. В сердце этой математики - одно равенство.

Это не «похоже на теорему Пифагора» - это **буквально теорема Пифагора**, записанная на единичной окружности. Точка $(\cos\theta,\, \sin\theta)$ находится на расстоянии 1 от начала координат. Расстояние - через $x^2 + y^2 = r^2$. Подстановка даёт тождество.

Разделив обе части на $\cos^2\theta$ и на $\sin^2\theta$, получаем ещё два тождества:

Три пифагоровых тождества - это одна формула, записанная тремя способами. Запомнить нужно только $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, остальные выводятся делением за 5 секунд.

Это тождество работает в 512-мерном пространстве ровно так же, как в двумерном. Позиционное кодирование в трансформерах - $PE(pos, 2i) = \sin(pos / 10000^{2i/d})$ - использует тот же единичный круг, только в каждом из 256 пар измерений. Каждое слово в GPT-4 имеет координату, где $\sin^2 + \cos^2 = 1$ выполняется дословно.

Формулы сложения

Как найти $\sin(75°)$ точно - без калькулятора, без таблиц? $75° = 45° + 30°$. Оба угла табличные. Нужна формула для $\sin(\alpha + \beta)$, и тогда из известных значений получается точный ответ.

В формуле синуса знак совпадает с $\pm$, в формуле косинуса - **противоположный** ($\mp$). Мнемоника: «синус - дружелюбный (сохраняет знак), косинус - упрямый (меняет)».

Геометрическое доказательство через расстояние на единичной окружности элегантно и коротко. Точки $A = (\cos\alpha, \sin\alpha)$ и $B = (\cos\beta, \sin\beta)$. Расстояние $|AB|^2$ считается двумя способами - через формулу расстояния и через теорему косинусов. Приравнивание результатов сразу даёт $\cos(\alpha - \beta)$.

Формулы сложения - это ядро модуляции сигналов. AM/FM радио, 5G, Wi-Fi - все используют произведение $\sin\alpha \cdot \sin\beta$. Формула сложения превращает его в сумму синусоид: $\sin\alpha \cdot \sin\beta = \tfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]$. Умножение частот - это сложение аргументов.

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла - не отдельные формулы. Это **частный случай** формул сложения при $\alpha = \beta$. Один шаг подстановки:

Из пифагорова тождества $\cos(2\theta)$ записывается тремя способами - и каждый удобен в своей задаче:

Выбор формы зависит от задачи: только cos - используйте $2\cos^2\theta - 1$, только sin - используйте $1 - 2\sin^2\theta$, оба - $\cos^2\theta - \sin^2\theta$.

RoPE (Rotary Position Embeddings) - позиционное кодирование в LLaMA, Mistral, GPT-NeoX - буквально умножает каждую пару query/key-компонент на матрицу поворота $\begin{pmatrix}\cos m\theta & -\sin m\theta \\ \sin m\theta & \cos m\theta\end{pmatrix}$. При вычислении attention score $q \cdot k$ два поворота перемножаются - и в результате появляется $\cos((m-n)\theta)$, относительное расстояние между позициями. Формула двойного угла здесь не метафора: это буквальное применение $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

Формулы половинного угла и понижения степени

Формулы половинного угла - это формулы двойного угла, прочитанные наоборот. Из $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$ выражается $\cos^2\theta$:

Замена $\theta \to \theta/2$ даёт формулы половинного угла:

Знак $\pm$ определяется четвертью, в которой находится $\theta/2$, а не $\theta$. Если $\theta = 300°$, то $\theta/2 = 150°$ - вторая четверть, где синус положительный, косинус отрицательный.

Для тангенса - формулы **без** $\pm$:

Именно эти формулы - $\sin^2\theta = (1 - \cos 2\theta)/2$ и $\cos^2\theta = (1 + \cos 2\theta)/2$ - превращают квадрат тригонометрической функции в линейное выражение. DCT (дискретное косинусное преобразование) в JPEG и MP3 опирается на эту технику напрямую: квадраты косинусов сворачиваются через понижение степени, и сжатие становится вычислимым.

Ключевые идеи

• **$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ - это теорема Пифагора** на единичной окружности, не отдельный факт
• **Формулы сложения** - второй фундамент: sin(α ± β) и cos(α ± β) - всё остальное из них
• **Двойной угол** - частный случай сложения (β = α): sin(2θ) = 2sinθ cosθ; cos(2θ) имеет три формы
• **Понижение степени и половинный угол** - обратное прочтение двойного угла; ключ к интегрированию и к DCT в JPEG/MP3

Связанные темы

Тригонометрические тождества связывают геометрию, алгебру и анализ:

• Тригонометрические функции — Определения sin, cos, tan - фундамент для тождеств
• Обратные тригонометрические функции — Тождества используются при упрощении выражений с arcsin, arccos, arctan
• Правила дифференцирования — Производные тригонометрических функций выводятся через формулы сложения
• Первообразные — Формулы понижения степени - ключевой приём для интегрирования sin^2, cos^2

Вопросы для размышления

• Попробуйте вывести sin(3θ) через sin(2θ + θ) и формулы сложения. Сколько шагов потребовалось? Какой паттерн прослеживается для sin(nθ)?
• Почему формула дальности полёта содержит sin(2α), а не sin(α)? Что физически означает двойной угол в этом контексте?
• Positional encoding в трансформерах использует разные частоты для разных измерений: $pos / 10000^{2i/d}$. Почему именно степень 10000 - как это связано с формулами сложения и необходимостью различать далёкие позиции?

Связанные уроки

• trig-01 — Единичная окружность - геометрическая основа всех тождеств
• trig-03 — Тождества нужны для упрощения выражений с arcsin, arccos
• calc-07-derivative-rules — Производные тригонометрических функций опираются на тождества
• calc-10-antiderivatives — Формулы понижения степени - ключ к интегрированию sin^2, cos^2