Геометрия
Перечислительная геометрия
Цели урока
- Понять задачу перечисления кривых и числа Громова-Виттена N_d
- Освоить рекуррентность Концевича для вычисления N_d
- Знать пространства модулей стабильных отображений
- Понять квантовую когомологию как деформацию классической
Предварительные знания
- Алгебраические кривые и теорема Безу
- Гомологии (обзор)
- Проективная геометрия P^2
Как физики смогли вычислить N_3 = 317 206 375 (для кривых степени 3 на пятимерном CY) раньше математиков, и что это говорит о математике?
- Теория струн: числа рациональных кривых N_d вычисляются из корреляционных функций теории струн - математика служит физике
- Зеркальная симметрия: число 317 206 375 кривых степени 3 на пятимерном многообразии Калаби-Яу предсказано физиками до строгого доказательства
- Криптография: пространства модулей кривых используются в конструкции AG-кодов
- Комбинаторика: рекуррентность Концевича вычисляет N_d за полиномиальное время - конкретный алгоритм из абстрактной геометрии
От Стейнера до Концевича
Якоб Стейнер (1848) задал вопрос: сколько коник касается 5 данных коник? Ответ (предположительно 7776) оказался неверным из-за счёта с кратностями. Хармон Зойтен в XIX веке развил теорию характеристик. Хирцебрух в 1950-х систематизировал перечислительную геометрию через когомологии. Виттен в 1990-91 годах предсказал числа кривых через теорию струн. Концевич в 1994 году доказал рекуррентность. Его работа объединила алгебраическую геометрию, физику и комбинаторику - Филдсовская медаль 1998 года.
Классическая перечислительная геометрия
Через 2 точки проходит ровно 1 прямая. Через 5 точек - ровно 1 коника. Через 8 точек - ровно 12 кубических кривых. Через 11 точек - ровно 620 квартических. Это не совпадение - это глубокая структура. Сколько рациональных кривых степени d в P^2 проходит через 3d-1 точку в общем положении?
Рекуррентность Концевича - одно из самых красивых результатов математики 1990-х. За ней стоит глубокая структура: квантовая когомология, аксиоматизированная как операд. Формально числа N_d - это интегралы по пространству модулей стабильных отображений.
Сколько рациональных кривых степени 3 в P^2 проходит через 8 точек в общем положении?
N_3 = 12 - число рациональных кубических кривых через 8 точек в общем положении в P^2. Это вычислялось вручную в XIX веке. Рекуррентность Концевича позволяет вычислить все N_d автоматически.
Инварианты Громова-Виттена и пространство модулей
Математики умели считать рациональные кривые через конечное число точек. Физики из квантовой теории струн получили те же числа - но совершенно другим способом. Концевич в 1994 году объяснил, почему эти подходы совпадают: инварианты Громова-Виттена - это корреляционные функции топологической теории струн.
Связь с зеркальной симметрией
Как зеркальная симметрия вычисляет числа кривых
Формула Кандерласа-де ла Оссы (1991): многообразие Калаби-Яу степени 5 в P^4 содержит 2875 прямых, 609 250 коник, 317 206 375 кривых степени 3. Последнее число вычислено не геометрически, а через зеркальное многообразие: вместо сложного интеграла по пространству отображений - простой период. Это главный практический результат зеркальной симметрии.
Что такое инварианты Громова-Виттена с геометрической точки зрения?
GW-инварианты - интегралы по пространству стабильных отображений M_{g,n}(X, beta). Они считают (с весами) алгебраические кривые рода g в классе beta с n отмеченными точками.
Квантовая когомология
Обычное кольцо когомологий H*(X) задаётся чашечным произведением. Квантовая когомология QH*(X) деформирует его: в произведение добавляются поправки от рациональных кривых. Каждая рациональная кривая в X вносит вклад через инварианты Громова-Виттена.
Квантовая когомология оказалась богаче классической: она связана с интегрируемыми системами, теорией представлений и зеркальной симметрией. Операд коммутативных алгебр деформируется в операд, кодирующий всю структуру инвариантов Громова-Виттена.
Аксиомы инвариантов Громова-Виттена, сформулированные Концевичем и Маниным, - это аксиомы на пространства модулей кривых. Они дают строгую математическую основу для вычислений в теории струн.
Как квантовая когомология отличается от классической?
В QH*(X) чашечное произведение alpha cup beta заменяется квантовым alpha * beta, включающим суммирование по всем рациональным кривым beta'. При q=0 квантовое произведение вырождается в классическое.
Связи с другими темами
Перечислительная геометрия использует методы топологии, физики и комбинаторики.
- Алгебраические кривые — Перечислительные задачи строятся на пересечениях алгебраических кривых
- Зеркальная симметрия — Зеркальная симметрия объяснила число рациональных кривых на трёхмерной квинтике Калаби-Яу
- Производная алгебраическая геометрия: введение — Виртуальный фундаментальный класс Концевича строится в производной геометрии
Итоги
- N_d = число рациональных кривых степени d через 3d-1 точек в P^2
- N_1=1, N_2=1, N_3=12, N_4=620, N_5=87304
- Рекуррентность Концевича вычисляет все N_d из N_1=1 за полиномиальное время
- Инварианты Громова-Виттена = интегралы по M_{g,n}(X, beta)^{vir}
- Квантовая когомология QH*(X) деформирует классическое кольцо когомологий вкладами кривых
Вопросы для размышления
- Почему для счёта рациональных кривых степени d через точки нужно ровно 3d-1 точечных условий?
- Как рекуррентность Концевича выражает N_d через N_{d1} и N_{d2} с d1+d2=d - что геометрически означает это разбиение?
- Что означает квантовая поправка H^{n+1} = q в квантовой когомологии P^n?
Связанные уроки
- geo-24 — Алгебраические кривые - объекты счёта
- geo-26 — Зеркальная симметрия вычисляет числа Громова-Виттена
- geom-21 — Проективная геометрия P^2 - главная арена счёта кривых
- top-07 — Гомологии и когомологии - язык перечислительной геометрии
- geo-27 — Тропическая геометрия вычисляет числа Громова-Виттена комбинаторно