Геометрия
Проективная геометрия
Цели урока
- Понять устройство проективной плоскости P^2 и смысл однородных координат
- Освоить гомографии и их 8 степеней свободы
- Уметь вычислять и применять кросс-отношение как проективный инвариант
- Знать теоремы Дезарга, Паскаля и принцип двойственности
Предварительные знания
- Предыдущий урок геометрии
- Геометрические преобразования
- Введение в проективную геометрию
Почему все типы коник (эллипс, парабола, гипербола) - одно и то же в проективной геометрии, и где проходит граница между ними в евклидовом мире?
- Google Street View: сшивка 20 млн панорамных снимков в день через поиск гомографий методом RANSAC
- Tesla Autopilot: SLAM-навигация использует кросс-отношение для верификации совпадений между кадрами без знания матрицы камеры
- Компьютерная графика: перспективное проецирование 3D-сцен - матрица P = K[R|t] размера 3x4
- Криптография: проективные пространства над конечными полями F_q - основа AG-кодов, исправляющих ошибки
От художников Возрождения к компьютерному зрению
Жерар Дезарг (1591-1661) - архитектор и математик - опубликовал трактат в 1639 году. Декарт отозвался скептически, большинство коллег не поняло. Блез Паскаль в 16 лет прочитал Дезарга и за несколько месяцев доказал теорему о вписанном шестиугольнике. Понселе, находясь в русском плену после наполеоновских войн, восстановил всю проективную геометрию по памяти без единой книги. В 1900-х Гильберт формализовал аксиоматику. В 2000-х OpenCV превратила теоремы XVII века в алгоритмы, обрабатывающие миллиарды снимков ежедневно.
Проективная плоскость и однородные координаты
2012 год, Google Street View. Алгоритм сшивки панорам обрабатывает 20 миллионов снимков в день. Каждое совмещение двух кадров - это поиск матрицы 3x3. Гомография. Именно проективная геометрия делает возможным бесшовный Google Maps.
Проективная плоскость P^2 - это множество прямых через начало координат в R^3. Точка (X:Y:Z) задана с точностью до ненулевого множителя: (X:Y:Z) = (lambdaX:lambdaY:lambdaZ) для любого lambda != 0.
Параллельные прямые в евклидовой геометрии не пересекаются. В проективной - пересекаются всегда, на бесконечно удалённой точке. Именно это делает перспективу математически корректной: рельсы сходятся на горизонте, и это не иллюзия - это теорема.
Гомография имеет 8 степеней свободы. Для её нахождения нужно минимум 4 пары точек, не три из которых коллинеарны - именно поэтому RANSAC в OpenCV итерирует по квартетам точек.
Сколько степеней свободы имеет гомография P^2 -> P^2?
Матрица 3x3 задаётся 9 числами, но два набора, отличающихся на ненулевой множитель, дают одно преобразование. Остаётся 8 степеней свободы. Для нахождения нужны 4 пары точек в общем положении.
Кросс-отношение и проективные инварианты
Что остаётся неизменным при гомографии? Длины - нет. Углы - нет. Отношения длин - тоже нет. Но есть одна функция четырёх точек, которая выживает при любом проективном преобразовании. Это кросс-отношение - единственный полный инвариант четырёх точек на проективной прямой.
Кросс-отношение в SLAM
Инвариант для верификации совпадений точек
В SLAM-системе Tesla Autopilot несколько камер снимают дорожные маркировки с разных ракурсов. Гомография меняет координаты точек. Кросс-отношение четырёх разметочных точек остаётся неизменным. Это позволяет верифицировать совпадения даже при сильных перспективных искажениях без знания матрицы камеры.
Кросс-отношение определено только для четырёх различных точек в общем положении. При совпадении двух точек оно принимает вырожденные значения 0, 1 или бесконечность.
Какое значение кросс-отношения соответствует гармоническому делению?
Гармоническое деление - когда кросс-отношение равно -1. Точки c и d делят отрезок ab внутренне и внешне в одном и том же отношении.
Теоремы Дезарга, Паскаля и принцип двойственности
1648 год. Жерар Дезарг публикует теорему - и большинство современников её не понимает. Декарт отзывается пренебрежительно. Паскаль в 16 лет читает Дезарга и за месяц доказывает свою теорему о шестиугольнике. Через 200 лет Понселе в русском плену переоткрывает всё это без книг. Через 350 лет - основа компьютерной графики.
| Утверждение | Двойственное |
|---|---|
| Две точки определяют прямую | Две прямые определяют точку |
| Три точки коллинеарны | Три прямые конкурентны |
| Теорема Паскаля (вписанный шестиугольник) | Теорема Брайанкона (описанный шестиугольник) |
| Точка лежит на прямой | Прямая проходит через точку |
Принцип двойственности - одна из самых структурных идей математики. Точки и прямые в P^2 абсолютно равноправны. Это не соглашение аксиоматики - это следствие того, что P^2 самодвойственна как категорный объект.
Что утверждает принцип двойственности в проективной плоскости?
В P^2 аксиомы симметричны относительно перестановки 'точка' и 'прямая'. Поэтому любая теорема автоматически даёт двойственную теорему после замены.
Коники в проективной плоскости
В евклидовой геометрии три типа коник: эллипс, парабола, гипербола. В проективной - только один. Любые две невырожденные коники проективно эквивалентны. Тип коники - это артефакт выбора аффинной карты, а не геометрическое свойство.
OpenCV использует это при калибровке камер по кружкам: 5 точек на круге (который в проективных координатах является общей коникой) однозначно восстанавливают геометрию сцены. Шахматная доска - частный случай, круговой паттерн - точнее.
Теорема Паскаля работает для любой коники: шесть точек на конике определяют шестиугольник с коллинеарными диагональными точками. Это используется для проверки того, лежат ли шесть данных точек на одной конике.
Сколько точек в общем положении однозначно определяют конику в P^2?
Коника задаётся симметричной матрицей 3x3 (6 элементов минус 1 за масштаб = 5 параметров). Каждая точка задаёт одно линейное уравнение, поэтому 5 точек в общем положении однозначно определяют конику.
Связи с другими темами
Проективная геометрия лежит в основе компьютерного зрения, алгебраической геометрии и теории кодирования.
- Координатная геометрия — Проективные координаты обобщают аффинные на бесконечно удалённые точки
- Геометрия в Computer Science — Однородные координаты и проективные преобразования - основа 3D-графики
- Алгебраические кривые — Проективная плоскость - естественная сцена для алгебраических кривых и теоремы Безу
Итоги
- P^2 = прямые через 0 в R^3; точка (X:Y:Z) определена с точностью до ненулевого масштаба
- Гомография H in GL(3): 8 степеней свободы, находится по 4 парам точек в общем положении
- Кросс-отношение (a,b;c,d) - единственный полный проективный инвариант 4 точек на P^1
- Теорема Дезарга: перспективность из точки эквивалентна перспективности из прямой
- Принцип двойственности: замена 'точка' <-> 'прямая' сохраняет истинность теорем в P^2
- Коника в P^2 имеет 5 степеней свободы; 5 точек в общем положении задают её однозначно
Вопросы для размышления
- Почему в евклидовой геометрии параллельные прямые не пересекаются, а в проективной - всегда пересекаются на бесконечно удалённой точке?
- Как кросс-отношение позволяет верифицировать совпадения точек между кадрами без знания матрицы камеры?
- Что общего между принципом двойственности в P^2 и двойственностью в линейной алгебре (двойственное пространство V*)?