Теория чисел

Автоморфные формы

Цели урока

  • Понять операторы Гекке и мультипликативность коэффициентов модулярных форм
  • Освоить адельную формулировку автоморфных представлений
  • Разобраться в теории новых и старых форм: разложение Аткина-Лемера
  • Знать формы Маасса и статус гипотезы Рамануджана

Предварительные знания

  • Дзета-функции многообразий
  • Программа Лэнглэндса
  • Комплексный анализ
  • Дзета-функции многообразий
  • Программа Лэнглэндса

Как числа 1, -24, 252, -1472, 4830, ... (коэффициенты функции Рамануджана) оказываются связаны с числом точек алгебраических многообразий над конечными полями?

  • Криптография: L-функции модулярных форм используются для верификации безопасности эллиптических кривых в ECDH
  • Квантовый хаос: спектр форм Маасса совпадает со статистикой уровней в хаотических квантовых системах
  • Теория кодирования: модулярные формы определяют экстремальные решётчатые коды с максимальным расстоянием
  • Физика частиц: операторы Гекке аналогичны операторам Вильсона в конформных теориях поля

От Рамануджана до Делиня: история одной оценки

В 1916 году Сриниваса Рамануджан опубликовал статью о функции tau(n). Он выписал первые несколько значений и сделал поразительное предположение: |tau(p)| <= 2p^{11/2} для всех простых p. Никаких идей о доказательстве не было - только интуиция. Следующие 58 лет математики пытались понять это неравенство. Оно было эквивалентно гипотезе Вейля о зета-функциях - тоже открытой. В 1974 году Пьер Делинь доказал обе сразу, получив медаль Филдса в 1978. Техника доказательства - этальные когомологии - открыла новую эпоху в алгебраической геометрии.

Модулярные формы и операторы Гекке

Сриниваса Рамануджан в 1916 году предположил, что коэффициент tau(n) дельта-функции Delta(z) = q * prod(1-q^n)^24 удовлетворяет |tau(p)| <= 2p^{11/2}. Это было доказано Делинем в 1974 году как следствие его теоремы о гипотезах Вейля.

Мультипликативность коэффициентов a_n - следствие того, что форма является собственным вектором всех операторов Гекке T_n одновременно. Это не случайность, а следствие коммутативности алгебры Гекке.

Почему операторы Гекке T_p важны для теории модулярных форм?

Адельные автоморфные формы

Классические модулярные формы - функции на верхней полуплоскости. Адельная версия объединяет все локальные данные в единый объект на аделях и позволяет работать с автоморфными представлениями GL_n(A_K) для произвольных n и полей K.

Адельный язык позволяет единообразно обращаться с формами над любым числовым полем K, не только Q. Операторы Гекке становятся операторами сдвига по двойным смежным классам, что соответствует локальным компонентам при конечных местах.

L-функция и Эйлерово произведение через адели

Связь локальных и глобальных данных

Для модулярной собственной формы f с q-разложением f = sum a_n q^n: L(f,s) = prod_p (1 - a_p p^{-s} + p^{k-1-2s})^{-1}. Каждый множитель определяется локальной компонентой Pi_p через L(s, Pi_p) = (1 - alpha_p p^{-s})^{-1} * (1 - beta_p p^{-s})^{-1}, где alpha_p + beta_p = a_p, alpha_p * beta_p = p^{k-1}. Это прямой мост между аналитической и алгебраической структурами.

Что такое автоморфное представление Pi в адельной формулировке?

Автоморфное представление Pi - неприводимое представление GL_n(A_K), встречающееся в L^2(GL_n(K)\GL_n(A_K)) с условиями конечности. Оно раскладывается как Pi = tensor'_v Pi_v по местам.

Новые и старые формы, примитивные формы

Пространство модулярных форм M_k(Gamma_0(N)) содержит 'старые' формы - подъёмы форм меньшего уровня - и 'новые' формы, действительно отвечающие уровню N. Теория нового и старого разделения (Atkin-Lehner 1970) позволяет выделить примитивные формы.

СвойствоСтарая формаНовая форма
УровеньДелитель NТочно N
Оператор W_NНе обязательно собственныйСобственный (+-1)
L-функцияВырожденаПримитивная, функц. уравнение с N
Соответствие ЛэнглэндсаНе примитивное PiПримитивное Pi_N

При использовании соответствия Лэнглэндса нужно работать только с примитивными формами: каждая соответствует ровно одному (вплоть до изоморфизма) автоморфному представлению. Старые формы - подъёмы примитивных форм меньшего уровня.

Что такое примитивная модулярная форма?

Примитивная форма = новая нормализованная форма Гекке: f в S_k^new(Gamma_0(N)), T_p f = a_p f для всех p, a_1=1. Одно-однозначно соответствует примитивному автоморфному представлению GL_2.

Формы Маасса и спектральная теория

Классические модулярные формы - голоморфные. Но существуют и вещественно-аналитические автоморфные формы - формы Маасса, открытые в 1949 году. Они соответствуют другим автоморфным представлениям GL_2 с нецелым 'весом' и связаны с гипотезой Рамануджана, открытой до сих пор.

Гипотеза Сельберга (lambda_j >= 1/4) для конгруэнтных подгрупп - частный случай гипотезы Рамануджана. Лучший текущий результат: lambda_j >= 975/4096 (Ким-Сарнак 2003), что соответствует оценке |a_p| <= 2p^{7/64}.

В чём принципиальное отличие форм Маасса от классических голоморфных модулярных форм?

Формы Маасса - вещественно-аналитические, не голоморфные. Вместо условия Коши-Римана - условие Delta f = lambda f. Оба типа - автоморфные формы для GL_2, но с разными архимедовыми компонентами Pi_infty.

Связи с другими темами

Автоморфные формы - центральный объект в современной теории чисел.

  • Спектральная теория — Связанная тема
  • Теория представлений — Связанная тема
  • Алгебраическая геометрия — Связанная тема

Итоги

  • Модулярная форма веса k: f((az+b)/(cz+d)) = (cz+d)^k f(z) при матрицах из SL_2(Z)
  • Операторы Гекке T_p: собственные функции - примитивные формы с мультипликативными a_n
  • Адельная формулировка: Pi = tensor Pi_v - автоморфное представление GL_2(A_Q)
  • Разложение Аткина-Лемера: M_k(Gamma_0(N)) = M_k^old + M_k^new
  • Гипотеза Рамануджана: |a_p| <= 2p^{(k-1)/2} - доказана для голоморфных форм (Делинь 1974), открыта для форм Маасса

Вопросы для размышления

  • Почему коммутативность алгебры Гекке (T_p T_q = T_q T_p для (p,q)=1) приводит к мультипликативности коэффициентов, а не наоборот?
  • Как адельная формулировка объединяет голоморфные модулярные формы и формы Маасса в единую категорию автоморфных представлений?
  • В чём принципиальное различие между оценкой Рамануджана для голоморфных форм (доказана через Вейля) и для форм Маасса (открыта)?

Связанные уроки

  • nt-27 — Дзета-функции многообразий - мотивация для операторов Гекке
  • nt-26-langlands — Автоморфные формы - конкретная реализация правой стороны соответствия Лэнглэндса
  • nt-29 — Арифметика эллиптических кривых использует L-функции автоморфных форм
Автоморфные формы

0

1

Войти