Исчисление Маллявена

Цели урока

• Понять производную Маллявена как дифференцирование функционалов броуновского пути
• Освоить пространство D^{1,2} и норму Маллявена-Соболева
• Разобрать оператор расходимости и связь с интегралом Скорохода
• Применять формулу интегрирования по частям для вычисления греков

Предварительные знания

• Броуновское движение и стохастический интеграл Ито
• Формула Ито и стохастическое дифференциальное уравнение
• Пространства Гильберта и операторы в них
• Хаотическое разложение Винера

• Стохастические финансы и формула Блэка-Шоулса

Как вычислить чувствительность цены экзотического опциона к параметрам, если выплата - индикатор пересечения барьера? Маллявен переносит производную через формулу интегрирования по частям на пространстве Винера.

• **Вычисление греков:** дельта, гамма барьерных опционов вычисляются через IBP Маллявена в Монте-Карло (Goldman Sachs, JPMorgan)
• **Гипоэллиптические операторы:** теорема Хёрмандера доказывается вероятностным методом через невырожденность матрицы Маллявена
• **Диффузионные модели:** score-функция в Stable Diffusion и DDPM связана с производной Маллявена обратного процесса
• **Стохастический контроль:** критерии оптимальности используют вариационные методы на пространстве Винера

Производная Маллявена

В 1976 году Поль Маллявен решил задачу, над которой бились аналитики: дать чисто вероятностное доказательство теоремы Хёрмандера о гипоэллиптичности. Его инструмент - дифференцирование случайной величины по траектории броуновского движения. Сегодня производная Маллявена лежит в основе score-функций диффузионных моделей в Stable Diffusion и DDPM.

Score-функция nabla log p_t(x) в диффузионных моделях (Stable Diffusion, DDPM) выражается через производную Маллявена обратного процесса. Это даёт строгое математическое обоснование denoising score matching.

Формула интегрирования по частям

Сила исчисления Маллявена - в формуле интегрирования по частям на пространстве Винера. Она позволяет 'перебросить' производную по случайной величине X на весовой функционал, обходя недифференцируемость подынтегральной функции. Это критично для вычисления греков барьерных и бинарных опционов в Goldman Sachs и JPMorgan: дельта и гамма становятся доступны через Монте-Карло даже для negladких выплат.

Для барьерного опциона выплата f(S_T)*1_{max S < B} не дифференцируема в традиционном смысле. Маллявен IBP даёт явный весовой функционал, позволяющий вычислить греков через стандартное Монте-Карло без bias.

Интеграл Скорохода и расходимость

Анатолий Скороход в 1975 году обобщил интеграл Ито на неадаптированные процессы. Оператор расходимости Маллявена delta совпадает с интегралом Скорохода: расширение, позволяющее интегрировать процессы, 'видящие будущее' броуновского пути. Это нужно в задачах с обратной диффузией - именно в reverse process диффузионных генеративных моделей.

Исчисление Маллявена: мост между анализом и вероятностью

Производная Маллявена вносит дифференциальную структуру в бесконечномерное пространство Винера, объединяя стохастическое исчисление, функциональный анализ и современное глубокое обучение.

• Стохастическое исчисление — Оператор расходимости delta обобщает интеграл Ито на неадаптированные процессы через конструкцию Скорохода
• Функциональный анализ — Пространства Соболева-Ватанабе D^{k,p} на пространстве Винера - бесконечномерный аналог классических пространств Соболева
• Диффузионные генеративные модели — Score-функция nabla log p_t в Stable Diffusion и DDPM связана с производной Маллявена обратного процесса
• Финансовая математика — Формула IBP Маллявена позволяет вычислять греков барьерных и бинарных опционов через Монте-Карло без смещения

Итоги

• **Производная Маллявена** D_t F дифференцирует функционал F по броуновскому пути в направлении 1_{[0,t]} из пространства Камерона-Мартина
• **Пространство D^{1,2}** - замыкание гладких функционалов в норме ||F||^2_{1,2} = E[F^2] + E integral (D_t F)^2 dt; бесконечномерный аналог соболевского W^{1,2}
• **Оператор расходимости** delta = D* сопряжён D в L^2; совпадает с интегралом Скорохода, расширяя интеграл Ито на неадаптированные процессы
• **Формула IBP** E[partial_i f(X) G] = E[f(X) delta(G (C_X^{-1} DX)_i)] переносит производную с недифференцируемой выплаты на весовой функционал - ключ к грекам барьерных опционов
• **Матрица Маллявена** C_X контролирует гладкость закона X: невырожденность гарантирует абсолютную непрерывность (теорема Хёрмандера)
• **Score-функция** в диффузионных моделях совпадает с производной Маллявена обратного процесса - строгое основание denoising score matching