Топология
Кобордизмы и характеристические числа
Цели урока
- Понять понятие кобордизма и кольцо кобордизмов Omega_*
- Научиться вычислять числа Штифеля-Уитни и Понтрягина как кобордизмные инварианты
- Изучить теорему Хирцебруха и её связь с подписью 4-многообразий
- Освоить конструкцию Понтрягина-Тома, связывающую кобордизм с гомотопией
Предварительные знания
- Характеристические классы расслоений
- Гомологии и когомологии
- Дифференциальные формы
Когда два многообразия «одинаковы» с точки зрения топологии? Кобордизм - ответ на этот вопрос для пар (граница, то, что ограничено). Подпись 4-многообразий различает экзотические структуры на R^4.
- Квантовая гравитация: кобордизм 4-многообразий - язык описания переходов между конфигурациями пространства-времени
- Теория суперструн: аномалии компактификаций выражаются через числа Понтрягина
- 4-многообразия: теоремы Дональдсона использовали подпись для открытия экзотических R^4
- Топологические квантовые поля (TQFT): функторы из категории кобордизмов в векторные пространства
Кобордизм от Понтрягина до Тома
Лев Понтрягин в 1938 году связал гомотопические группы сфер с дифференциальной топологией через конструкцию, которую позже назвали конструкцией Понтрягина-Тома. Ренэ Том в 1954 году систематизировал теорию кобордизмов и получил медаль Филдса за вычисление групп кобордизмов. Фридрих Хирцебрух в 1953 году доказал теорему о подписи через L-классы. В 1963 году Атья и Зингер обобщили это до теоремы об индексе, объединив все эти результаты в единый формализм.
Кобордизмы и кольцо Ω_*
Программа Файнмана по квантовой гравитации (IAS, 2020) использует кобордизмную классификацию 4-многообразий: два многообразия кобордантны тогда и только тогда, когда совпадают все их числа Понтрягина - препятствие к единой теории поля.
Каждая характеристическая число является кобордизмным инвариантом: если M и M' кобордантны, то w_I[M] = w_I[M']. Обратное (теорема Понтрягина-Тома): совпадение всех чисел Штифеля-Уитни влечёт кобордантность.
Что является необходимым и достаточным условием для того, чтобы замкнутое n-многообразие было кобордантно нулю в Omega_n(pt; Z/2)?
Верно: по теореме Понтрягина-Тома M ~ 0 в Omega_n(pt;Z/2) тогда и только тогда, когда все числа Штифеля-Уитни обнуляются.
Подпись многообразия и теорема Хирцебруха
Подпись - один из главных инвариантов 4-многообразий. Экзотические R^4 (Дональдсон, 1983) различаются подписью и числами Понтрягина. Именно подпись позволила Дональдсону доказать, что существуют счётно бесконечно много попарно негомеоморфных гладких структур на R^4.
| Многообразие | sigma | p_1[M] | Кобордизм-класс |
|---|---|---|---|
| CP^2 | 1 | 3 | Образующий Omega_4 tensor Q |
| -CP^2 | -1 | 3 | Инверсия образующего |
| S^4 | 0 | 0 | Ноль в Omega_4 |
| K3 | -16 | 48 | Кратный образующего |
Чему равна подпись K3-поверхности?
Верно. Форма пересечений K3: два экземпляра E8 (sigma=-8 каждый) и три гиперболических H (sigma=0). Итого: -16.
Конструкция Понтрягина-Тома
1954 год. Ренэ Том получает медаль Филдса. Его конструкция сводит вычисление групп кобордизмов к вычислению гомотопических групп сфер - задаче, которую математики уже умеют решать. Мост между гладкой геометрией и гомотопической теорией становится стандартным инструментом.
Omega_1 = 0: граница всех 1-многообразий
Простейший пример кобордизма
Любое замкнутое 1-многообразие - дизъюнктное объединение окружностей S^1. Два S^1 образуют границу цилиндра S^1 times [0,1] - значит они кобордантны. Одна S^1 - граница диска D^2. Итого: Omega_1 = 0, каждое замкнутое 1-многообразие кобордантно нулю.
Omega_2 = Z/2, порождённая RP^2. Omega_4 = Z, порождённая CP^2. Omega_3 = 0. Первая нетривиальная ориентированная кобордизмная группа - Omega_4, именно там живёт подпись как инвариант.
Чему изоморфны классы кобордизмов n-многообразий по конструкции Понтрягина-Тома?
Верно. Конструкция Тома устанавливает Omega_n^O = pi_{n+N}(MO(N)) для большого N. Это сводит кобордизм к стабильной гомотопии.
Связи с другими темами
Кобордизмы объединяют дифференциальную топологию, алгебраическую топологию и математическую физику.
- Топологические квантовые теории поля — Связанная тема
- 4-многообразия — Связанная тема
- Спектры гомотопий — Связанная тема
- Теорема Атья-Зингера — Связанная тема
Итоги
- Кобордизм: M_1 ~ M_2 iff существует W с delta W = M_1 disjoint union M_2; классы образуют кольцо Omega_*
- Числа Штифеля-Уитни w_I[M] - полные инварианты Z/2-кобордизма (теорема Понтрягина-Тома)
- Подпись sigma(M^{4k}) - инвариант ориентированного кобордизма; sigma(M+N) = sigma(M)+sigma(N)
- Теорема Хирцебруха: sigma(M^{4k}) = integral over M of L(TM) - L-класс через классы Понтрягина
- Числа Понтрягина p_I[M] - полные инварианты ориентированного рационального кобордизма
- Конструкция Тома: Omega_n^O = pi_{n+N}(MO(N)) - мост между кобордизмом и гомотопической теорией
Вопросы для размышления
- Почему числа Штифеля-Уитни живут в Z/2, а числа Понтрягина - в Z? Что это говорит о природе ориентации?
- Как конструкция Тома переводит геометрическую проблему (кобордизм многообразий) в алгебраическую (гомотопия сфер)?
- Почему подпись аддитивна при ориентированном кобордизме, но не при произвольном?
Связанные уроки
- top-24-chern — Характеристические классы - строительные блоки кобордизмов
- top-26-k-theory — K-теория следует из понимания расслоений и кобордизмов
- top-23 — Гомологии и фундаментальный класс необходимы для чисел Штифеля-Уитни
- aa-20-homological