Тригонометрические неравенства

Рука промышленного робота - 6 степеней свободы, у каждой угловые ограничения. Boston Dynamics Spot: каждый шаг = решение системы тригонометрических неравенств за 1 мс. Медленнее - падение. GPS отбрасывает спутники ниже угла маскирования: sin(elevation) > 0.17. Это неравенство, не уравнение. Непрерывно, для каждого спутника, в реальном времени.

• **Joint constraints в роботике:** Boston Dynamics, промышленные ARM-манипуляторы - допустимый диапазон угла сустава задаётся тригонометрическими неравенствами, решаемыми при каждом шаге траектории
• **GPS elevation mask:** спутники ниже ~10 градусов от горизонта отбрасываются - условие sin(elevation) > sin(10 deg), непрерывное тригонометрическое неравенство
• **Frustum culling в 3D:** объект виден, если cos(угол_к_камере) >= cos(FOV/2) - неравенство, проверяемое для каждого объекта каждый кадр в Unity, Unreal, WebGL
• **Phase unwrapping в DSP:** восстановление непрерывной фазы из завёрнутой - решение неравенства |phi| > pi на каждом шаге сигнала

Предварительные знания

• Тригонометрические уравнения

Неравенства sin x > a и cos x <= a

GPS-приёмник отбрасывает спутники ниже угла маскирования (~10 градусов от горизонта). Это условие: $\sin(\text{elevation}) > \sin(10^\circ) \approx 0.17$. Тригонометрическое неравенство. Каждый навигационный чип решает его непрерывно - для каждого из десятков видимых спутников.

Неравенство $\sin x > a$ - это не точка, а **дуга** на единичной окружности. Геометрически: провести горизонтальную прямую $y = a$ и выбрать ту часть окружности, где точка находится **выше** этой прямой.

**Шаблон для $\sin x > a$ (|a| < 1):** Решить $\sin x = a$ - получить $x_0 = \arcsin(a)$ Тогда: $\sin x > a \iff x \in (x_0 + 2\pi n, \, \pi - x_0 + 2\pi n), \; n \in \mathbb{Z}$ **Шаблон для $\cos x > a$ (|a| < 1):** Решить $\cos x = a$ - получить $x_0 = \arccos(a)$ Тогда: $\cos x > a \iff x \in (-x_0 + 2\pi n, \, x_0 + 2\pi n), \; n \in \mathbb{Z}$

Для $\cos x \leq a$ геометрия меняется: косинус - горизонтальная координата точки, поэтому рисуется вертикальная прямая $x = a$. Дуга с косинусом, не превышающим $a$, - левая часть окружности.

Составные неравенства и системы

Boston Dynamics Spot: каждый шаг - система тригонометрических неравенств. Одновременно: угол бедра должен быть в $[-\pi/2, \pi/2]$, угол колена в $[0, 2\pi/3]$, угол стопы в $[-\pi/4, \pi/4]$. Решение за 1 мс - иначе робот падает. Это пересечение трёх дуг на единичной окружности.

Составное неравенство $a \leq \sin x \leq b$ задаёт **полосу** на единичной окружности: дугу, ограниченную сверху прямой $y = b$ и снизу прямой $y = a$. Решение - пересечение промежутков из каждого условия.

Система одновременных неравенств $\sin x > a$ и $\cos x > b$ - пересечение двух дуг на единичной окружности, обычно попадает в одну четверть. Это именно то, что вычисляет контроллер сустава: угол $\theta$ должен удовлетворять одновременно нескольким ограничениям рабочего пространства.

Для составных неравенств удобнее нарисовать единичную окружность от руки и отметить разрешённые и запрещённые дуги. Это быстрее и надёжнее формальных выкладок - особенно при системах из трёх и более условий.

Знаковый анализ тригонометрических выражений

В сигнальной обработке: unwrapping фазы - это решение тригонометрических неравенств. Фаза $\phi(t)$ завёрнута в $(-\pi, \pi]$. Когда она выходит за границу, происходит скачок на $2\pi$ - и unwrapping восстанавливает непрерывную фазу, решая когда именно $|\phi| > \pi$. Это знаковый анализ.

Когда тригонометрическое выражение содержит произведения или дроби функций, анализ знака каждого множителя решает задачу. Метод знаковой диаграммы: разбиваем период на участки по нулям и точкам разрыва, определяем знак на каждом.

$\tan x > 0$ - это $\sin x / \cos x > 0$. Знак дроби определяется парой знаков числителя и знаменателя. Критично: точки $x = \pi/2 + \pi n$, где $\cos x = 0$ - это точки разрыва $\tan$, они **не входят** в решение и промежутки через них не переходят.

При решении неравенств с $\tan x > a$ всегда указывать ОДЗ: $x \neq \pi/2 + \pi n$. Это разрывы функции - промежутки решения через них не проходят. Пропуск ОДЗ - самая частая ошибка.

Ключевые идеи

• **Геометрический подход:** неравенство - дуга на единичной окружности; горизонтальная прямая $y = a$ делит окружность на «выше» и «ниже»
• **$\sin x > a$** - открытый промежуток $(\arcsin a + 2\pi n, \; \pi - \arcsin a + 2\pi n)$; **$\cos x > a$** - $(−\arccos a + 2\pi n, \; \arccos a + 2\pi n)$
• **Составные неравенства:** пересечение промежутков; системы - пересечение дуг на окружности; типично попадают в одну четверть
• **Знаковые диаграммы:** таблица знаков по четвертям для произведений и дробей; разрывы функции - жёсткие границы промежутков решения

Связанные темы

Тригонометрические неравенства - мост между уравнениями и геометрическими приложениями:

• Тригонометрические уравнения — Граничные точки каждого неравенства находятся из уравнения
• Теоремы синусов и косинусов — Условия существования треугольника - тригонометрические неравенства
• Тригонометрия на собеседовании — Задачи на видимость и пересечение лучей в 3D - системы неравенств

Вопросы для размышления

• Неравенство $\sin x \geq 1$ имеет решения - это отдельные точки $x = \pi/2 + 2\pi n$. А $\sin x \geq 2$? Как геометрия единичной окружности объясняет разницу?
• Сравните ответы для $\sin x = 0.5$ и $\sin x > 0.5$. Почему в одном случае дискретный набор точек, а в другом - интервалы? Что меняется геометрически?
• GPS отбрасывает спутники ниже 10 градусов. Если бы угол маскирования увеличили до 15 градусов - как изменилось бы множество решений неравенства $\sin(\text{elevation}) > \sin(15^\circ)$? Нарисовать на единичной окружности.

Связанные уроки

• trig-04 — Граничные точки неравенства находятся из уравнения - базовый навык
• trig-06 — Условия существования треугольника - тригонометрические неравенства
• trig-12 — Задачи на видимость в 3D и frustum culling - системы тригонометрических неравенств
• calc-03-limits-intro — Ограниченность sin/cos влияет на пределы - $|\sin x| \leq 1$ как squeeze theorem
• calc-06-derivative-intro