Теоремы синусов и косинусов

GPS определяет координаты объекта, используя расстояния до трёх спутников. Но задача навигации часто обратная: есть расстояния между точками и нужно найти координаты. Корабль XVII века определял своё положение по двум береговым маякам, измеряя углы - это метод триангуляции, основанный на теореме синусов. Сегодня те же формулы используются в компьютерной графике для вычисления нормалей полигонов и в геодезии для точных измерений.

• **GPS-триангуляция:** по двум известным базовым линиям и измеренным углам теорема синусов находит положение объекта
• **Генерация 3D-сеток:** при построении mesh-структур теорема косинусов вычисляет длины рёбер и углы между нормалями соседних полигонов
• **Навигация дронов:** расстояние между двумя точками маршрута и текущим положением находится через теорему косинусов по GPS-координатам

Предварительные знания

• Trigonometric Inequalities

Теорема синусов

В любом треугольнике ABC с углами A, B, C и противолежащими сторонами a, b, c все три отношения a/sin A, b/sin B, c/sin C равны одному и тому же числу - диаметру описанной окружности 2R. Это и есть теорема синусов.

**Теорема синусов:** a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R где R - радиус описанной окружности.

Теорема синусов используется при решении треугольника по двум углам и одной стороне (AAS или ASA). Для случая «две стороны и угол при одной из них» (SSA) возникает неоднозначность - об этом в отдельной теме.

Теорема косинусов

Теорема Пифагора работает только для прямоугольных треугольников. Теорема косинусов - её обобщение для произвольного треугольника: добавляется поправочный член с косинусом угла между известными сторонами.

**Теорема косинусов:** c² = a² + b² − 2ab·cos C Аналогично: a² = b² + c² − 2bc·cos A, b² = a² + c² − 2ac·cos B При C = 90°: cos C = 0, получаем теорему Пифагора c² = a² + b²

Обратная задача - найти угол по трём известным сторонам - решается через инверсию теоремы косинусов: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab). Это применяется при вычислении нормалей в 3D-графике и при решении задач навигации.

Формулы площади и неоднозначный случай SSA

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними: S = ½·a·b·sin C. Это следует из того, что высота h = b·sin A (при проведении высоты из B на сторону AC). Красивое следствие: площадь максимальна при C = 90°.

**Формулы площади треугольника:** S = ½·a·b·sin C = ½·b·c·sin A = ½·a·c·sin B Формула Герона: S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), где p = (a+b+c)/2 Через описанную окружность: S = abc / (4R)

Неоднозначный случай SSA (две стороны и угол при одной из них, не между ними): задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от соотношения сторон.

Ключевые идеи

• **Теорема синусов** a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R - для AAS/ASA (два угла и сторона)
• **Теорема косинусов** c² = a² + b² − 2ab·cos C - для SAS (две стороны и угол) и SSS (три стороны); при C=90° сводится к теореме Пифагора
• **Площадь треугольника** S = ½·a·b·sin C - две стороны и угол между ними
• **Случай SSA** (две стороны и угол не между ними) может давать 0, 1 или 2 решения - всегда проверяйте h = b·sin A

Связанные темы

Теоремы синусов и косинусов связывают тригонометрию с геометрией и практическими задачами:

• Тригонометрические уравнения — Нахождение неизвестных углов треугольника - это решение уравнений sin B = k или cos C = k
• Тригонометрия на собеседовании — Угол между векторами через скалярное произведение - прямое следствие теоремы косинусов
• Тригонометрия в графике и сигналах — Матрица вращения и работа с нормалями в 3D-движке строятся на тех же формулах

Вопросы для размышления

• Почему в случае SSA возможны два треугольника, а в случае SAS - всегда ровно один? Как это объясняется геометрически через высоту?
• Теорема косинусов: при C = 0° (вырожденный треугольник) c = |a − b|, при C = 180° c = a + b. Совпадает ли это с интуитивным представлением?
• GPS использует три спутника вместо двух. Почему двух недостаточно для точного определения координат на плоскости?

Связанные уроки

• la-03-cross-product