Графики тригонометрических функций

Цели урока

• Читать формулу y = A·sin(Bx+C)+D как описание физической волны
• Считать амплитуду, период, фазу и вертикальный сдвиг по графику и обратно
• Видеть связь параметров с positional encoding, AM/FM-модуляцией и STFT
• Понимать суперпозицию синусоид и происхождение биений

Предварительные знания

• Базовые тригонометрические функции sin, cos и их графики
• Радианная мера угла

• Теоремы синусов и косинусов

GPT-4 определяет позицию каждого токена через sin/cos с разными периодами - positional encoding из Vaswani 2017 (Transformer). Whisper STFT: 80 mel-фильтров через sin/cos на минуту. AM-радио, изобретённое в 1906 году, до сих пор живёт в FM, GSM, LTE, 5G и Wi-Fi - все они кодируют биты как фазу синусоиды.

• **Transformer positional encoding (2017):** sin(pos/10000^(2i/d)) - тот же y = A·sin(Bx) внутри GPT-4, Claude, Gemini
• **Whisper STFT:** 30-секундное аудио → 80 mel-фильтров через десятки миллионов sin/cos на каждую минуту речи
• **AM/FM радио → 5G:** A меняется в AM, B - в FM, C - в QPSK/OFDM. Одна формула покрывает 120 лет беспроводной связи
• **ECG в Apple Watch:** QRS-комплекс аппроксимируется суммой синусоид с разными фазами для классификации аритмии
• **Web Audio API в браузере:** OscillatorNode - буквально y = A·sin(2π·f·t) на 44100 Гц, основа всех веб-синтезаторов

Жозеф Фурье - тепло, ряды и вся современная обработка сигналов

В 1822 году Фурье публикует Théorie analytique de la chaleur - книгу о распространении тепла, в которой утверждает, что любая функция раскладывается в сумму синусов и косинусов. Современники не верят: Лагранж публично называет идею ошибочной. Через 60 лет Дирихле находит точные условия, и ряд Фурье становится основой всей цифровой эпохи: MP3, JPEG, MRI, Wi-Fi, 5G, спектрограммы Whisper. Один трактат о тепле - корень DSP, mel-filterbank и positional encoding в Transformer.

Амплитуда и период

**GPT-4 определяет позицию каждого токена через sin/cos с разными периодами - positional encoding из Vaswani 2017 (Transformer).** Формула одна: PE(pos, 2i) = sin(pos / 10000^(2i/d)). Здесь параметр **B = 1/10000^(2i/d)** задаёт период, а амплитуда фиксирована в единице. Та же y = A·sin(Bx) живёт внутри трансформера, в Spotify-эквалайзере, в STFT-окне Whisper - один универсальный шаблон.

**Параметры y = A·sin(Bx+C)+D:** Амплитуда: |A| (максимальное значение = A, минимальное = -A) Период: T = 2π/|B| Фаза (сдвиг): -C/B (горизонтальный сдвиг) Вертикальный сдвиг: D

Фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг

**AM-радио, изобретённое в 1906 году, до сих пор живёт в FM, GSM, LTE, 5G и Wi-Fi - все они кодируют биты как фазу синусоиды.** В y = sin(Bx + C) сдвиг равен -C/B: при C > 0 график сдвигается влево, при C < 0 - вправо. Вертикальный сдвиг D просто поднимает или опускает весь график. QPSK-модулятор в LTE кодирует 2 бита, выбирая одну из 4 фаз: 0, π/2, π, 3π/2 - именно эта величина C становится цифровым символом.

Фазовый сдвиг между двумя колебаниями определяет их взаимодействие. Два сигнала одинаковой частоты с фазовым сдвигом π полностью гасят друг друга (деструктивная интерференция) - принцип активного шумоподавления в AirPods Pro и Bose QC. Микрофон ловит шум, процессор рассчитывает -sin(Bx+C), динамик добавляет инвертированный сигнал, на барабанной перепонке - тишина.

Fourier features в ML: вместо raw timestamps в нейросеть подают sin(2π·t/T) и cos(2π·t/T) для разных периодов T (час, день, неделя, год). Так модель узнаёт сезонность без подбора периода вручную - тот же приём в positional encoding.

Наложение гармоник и биения

**Whisper расшифровывает речь: каждая 30-секундная аудиодорожка раскладывается в 80 mel-фильтров через STFT - десятки миллионов sin/cos на минуту.** Любой периодический сигнал раскладывается в сумму синусоидальных составляющих (ряд Фурье). Обратно - суперпозиция нескольких синусоид даёт сложный сигнал. Особый случай: сложение двух синусоид с близкими, но разными частотами порождает **биения** - тот же эффект, что слышен при настройке гитары и виден на спектрограмме речевой модели.

Практическое применение наложения: AM-модуляция - умножение несущей cos(2πf_c·t) на информационный сигнал m(t), что даёт боковые частоты. FM-модуляция меняет частоту несущей. Анализ спектра сигнала - разложение суперпозиции обратно в компоненты (FFT). На осциллографе суперпозиция выглядит как причудливая фигура Лиссажу; на спектрограмме - как набор горизонтальных полос.

Сложение двух синусоид с одинаковой частотой: A·sin(ωt) + B·cos(ωt) = √(A²+B²)·sin(ωt + φ), где tan φ = B/A. Это формула вспомогательного угла - база для анализа цепей переменного тока, импеданса в SDR-радио и комплексной экспоненты в формуле Эйлера.

Ключевые идеи

• **y = A·sin(Bx+C)+D:** амплитуда |A|, период 2π/|B|, фазовый сдвиг -C/B, вертикальный сдвиг D
• **Фаза** сдвигает график горизонтально: C > 0 влево, C < 0 вправо; sin и cos связаны фазовым сдвигом π/2
• **Наложение синусоид** одной частоты: A·sin + B·cos = √(A²+B²)·sin(x+φ) - сумма остаётся синусоидой
• **Биения** при близких частотах: огибающая·несущая, частота пульсаций = |f₁-f₂|
• **Один шаблон** работает в positional encoding GPT, STFT Whisper, AM/FM-радио и ECG Apple Watch

Связанные темы

Графики тригонометрических функций - визуальный язык волн и колебаний:

• Тригонометрия в физике — Параметры y=A·sin(ωt+φ) прямо соответствуют характеристикам простых гармонических колебаний
• Формула Эйлера — eⁱˣ = cos x + i·sin x - комплексная запись синусоиды, которая делает анализ сигналов удобнее
• Тригонометрия в графике и сигналах — FFT раскладывает сложный сигнал на синусоидальные компоненты - практика суперпозиции
• Transformers и positional encoding — sin(pos/10000^(2i/d)) - тот же y = A·sin(Bx) внутри Vaswani 2017

Вопросы для размышления

• Два сигнала: y₁ = sin(x) и y₂ = sin(x + π). Что даёт их сумма? Как это объясняет работу AirPods Pro с активным шумоподавлением?
• Может ли сумма двух разных синусоид снова быть синусоидой? При каких условиях это происходит, а при каких - нет?
• Почему в positional encoding GPT-4 выбраны именно sin/cos с геометрически растущими периодами, а не равномерная сетка частот?

Связанные уроки

• trig-08 — Гармонические колебания: те же A, B, C, D в физике
• trig-11 — FFT раскладывает сигнал на синусоиды - применение суперпозиции
• ml-31-transformers — Positional encoding sin/cos с разными периодами - Vaswani 2017
• aie-23-speech-to-text — Whisper STFT: 80 mel-фильтров через sin/cos на каждом окне
• dsp-01 — Цифровая обработка сигналов начинается с y = A·sin(Bx+C)+D