Тригонометрия
Сферическая тригонометрия
GPS обеспечивает точность 3 метра, работая на эллипсоиде WGS84. Каждый Uber-маршрут решает задачу на сфере. Авиарейс Лондон-Токио летит над Сибирью, экономя 2 часа полёта - это сферическая тригонометрия в действии.
- GPS навигация: формула Хэверсина в каждом смартфоне при вычислении расстояний
- Авиационная навигация: маршруты по большим кругам экономят до 15% топлива
- Картография: выбор проекции определяет какие свойства (расстояния, углы, площади) сохраняются
- Астрономия: сферическая тригонометрия для вычисления положений звёзд и спутников
Предварительные знания
Сферическая теорема косинусов: геометрия на шаре
GPS обеспечивает точность 3 метра, работая на эллипсоиде WGS84. Каждый Uber-маршрут решает задачу на сфере. Кратчайший путь между двумя точками на шаре - это дуга большого круга, и вычисляется она через сферическую теорему косинусов.
**Сферический треугольник:** стороны a, b, c - угловые расстояния (в радианах), углы A, B, C. **Сферическая теорема косинусов:** cos a = cos b·cos c + sin b·sin c·cos A **Отличие от плоской:** вместо длин сторон - косинусы угловых дуг. **Сферический избыток:** E = A + B + C - π > 0 для любого сферического треугольника. Площадь сферического треугольника = E · R²
Сферический треугольник образован экватором и двумя меридианами с разностью долгот 90°. Сумма углов?
Меридианы перпендикулярны экватору → два угла на экваторе = 90°. Разность долгот = 90° → угол при полюсе = 90°. Итого: 90°+90°+90° = 270°. Сферический избыток E = 270°−180° = 90°; площадь = E·R² = (π/2)R².
Формула Хэверсина: GPS в каждом смартфоне
Сферическая теорема косинусов численно нестабильна для малых расстояний: cos(малого угла) ≈ 1, и вычитание теряет значимые цифры. Формула Хэверсина решает это, вычисляя sin²(d/2) вместо cos(d), - именно поэтому она используется в каждом GPS-приложении.
**Хэверсин:** hav(θ) = sin²(θ/2) = (1 - cos θ)/2 **Формула Хэверсина:** a = sin²(Δφ/2) + cos φ₁·cos φ₂·sin²(Δλ/2) d = 2R·arcsin(√a) где φ - широта, λ - долгота, R = 6371 км. **Почему стабильнее:** при малом d, sin²(d/2) ~ d²/4 не теряет точность, а cos(d) ~ 1 - d²/2 теряет значимые биты.
Почему формула Хэверсина точнее теоремы косинусов для близких точек?
Catastrophic cancellation: cos(d) ≈ 1 − d²/2 для малого d. Вычитание cos a − cos b cos c ≈ 0 теряет все значимые биты. Хэверсин sin²(d/2) ≈ d²/4 мало и точно представимо в float64 - именно поэтому GPS использует Хэверсин.
Маршруты большого круга и геодезия
Рейс Лондон - Токио летит над Сибирью, хотя на карте Меркатора кажется, что кратчайший путь - на восток. Дуга большого круга - геодезическая линия на сфере - реально короче. Авиакомпании экономят до 15% топлива, летя по большому кругу.
**Начальный азимут** (угол от севера): tan α = sin(Δλ)·cos φ₂ / (cos φ₁·sin φ₂ - sin φ₁·cos φ₂·cos Δλ) **Гномоническая проекция:** проецирует сферу из центра на касательную плоскость. Главное свойство - любой большой круг отображается в прямую линию. **Промежуточные точки** на дуге большого круга вычисляются через параметрическую форму с параметром t ∈ [0,1].
Почему рейс Лондон - Лос-Анджелес летит через север Канады, а не строго на запад по 51°N?
Параллели (кроме экватора) - малые круги с радиусом r = R·cos(φ) < R. Геодезическая на сфере - дуга большого круга. Маршрут через Гренландию - истинная геодезическая: на сотни км короче пути по параллели. На карте Меркатора большие круги выглядят дугами.
Ключевые идеи
- cos a = cos b·cos c + sin b·sin c·cos A - сферическая теорема косинусов: аналог плоской, но с дугами вместо длин
- Хэверсин hav(θ) = sin²(θ/2): численно стабильная формула для малых расстояний, используется в GPS
- Сумма углов сферического треугольника > 180°, избыток E = A+B+C-π пропорционален площади
- Большой круг - кратчайший путь на сфере; на карте Меркатора выглядит дугой, на гномонической - прямой
- d = 2R·arcsin(√(sin²(Δφ/2) + cos φ₁·cos φ₂·sin²(Δλ/2))) - полная формула Хэверсина
Связанные темы
Сферическая тригонометрия связывает геометрию с навигацией и физикой:
- Теоремы синусов и косинусов — Плоские аналоги; сферические формулы переходят в них при малых углах
- Тригонометрия и вращения в 3D — Матрицы вращения SO(3) описывают повороты на сфере