Тригонометрия
Тригонометрическая подстановка и формулы произведения
Площадь под кривой нормального распределения ∫e^{-x²}dx вычисляется через переход к полярным координатам - трюк, который использует то же самое гауссовское интегрирование, что и в ML при вычислении нормирующих констант байесовских моделей. Тригонометрическая подстановка - универсальный инструмент для таких вычислений.
- Гауссовское интегрирование: нормирующие константы байесовских моделей
- Fourier analysis: коэффициенты через интегралы произведений синусоид
- Signal convolution: свёртка сигналов через формулы произведения-суммы
- Random Fourier Features: аппроксимация ядер в kernel machines
Предварительные знания
Формулы произведения-суммы: сигналы и интегралы
Площадь под кривой нормального распределения вычисляется через трюк: перейти к полярным координатам и использовать, что произведение двух гауссиан разделяется. Этот же принцип - превращение произведения тригонометрических функций в сумму - лежит в основе свёртки сигналов и вычисления Фурье-коэффициентов в ML.
**Произведение в сумму:** sin A · cos B = ½[sin(A+B) + sin(A-B)] cos A · cos B = ½[cos(A-B) + cos(A+B)] sin A · sin B = ½[cos(A-B) - cos(A+B)] **Сумма в произведение:** sin A + sin B = 2·sin((A+B)/2)·cos((A-B)/2) cos A + cos B = 2·cos((A+B)/2)·cos((A-B)/2)
Практическое применение: вычисление интеграла ∫ sin(3x)·cos(2x) dx. Прямое интегрирование трудно, через формулу произведения - сразу табличный: ½∫[sin(5x) + sin(x)] dx = -cos(5x)/10 - cos(x)/2 + C.
Вычислите ∫₀^π sin(3x)·cos(2x) dx через формулу произведения в сумму. Ответ?
sin(3x)cos(2x) = ½[sin(5x)+sin(x)]. Интеграл: ½[-cos(5x)/5 − cos(x)]₀^π = ½[(1/5+1)−(−1/5−1)] = ½·12/5 = 6/5.
Тригонометрическая подстановка: три случая
Когда подынтегральное выражение содержит √(a²-x²), √(a²+x²) или √(x²-a²), тригонометрическая подстановка устраняет корень через тождество Пифагора. Это стандартный приём в байесовской статистике при вычислении нормирующих констант.
**Три подстановки:** √(a²-x²): x = a·sin θ → корень = a·cos θ √(a²+x²): x = a·tan θ → корень = a/cos θ √(x²-a²): x = a/cos θ → корень = a·tan θ **Ключевые тождества:** 1 - sin²θ = cos²θ 1 + tan²θ = 1/cos²θ 1/cos²θ - 1 = tan²θ
Для ∫ dx/√(x²+9) какая тригонометрическая подстановка устраняет корень?
Для √(a²+x²) используем x = a tan θ: √(9+9tan²θ) = 3√(1+tan²θ) = 3/cosθ. Результат: ln|x + √(x²+9)| + C (через интеграл dθ/cosθ = ln|tanθ + 1/cosθ|).
Замена Вейерштрасса: рационализация
Замена t = tan(θ/2) превращает любой рациональный тригонометрический интеграл в рациональную функцию от t. Это универсальный инструмент: sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1-t²)/(1+t²), dx = 2dt/(1+t²). Аналогичный принцип используется в SciPy при адаптивном интегрировании.
Замена Вейерштрасса t = tan(x/2). Что такое cos x через t?
Из формулы двойного угла: cosx = cos²(x/2)−sin²(x/2). Делим числитель и знаменатель на cos²(x/2): (1−tan²(x/2))/(1+tan²(x/2)) = (1−t²)/(1+t²). dx = 2dt/(1+t²).
Ключевые идеи
- sin A·cos B = ½[sin(A+B) + sin(A-B)] - произведение превращается в сумму, интеграл становится элементарным
- √(a²-x²): x = a·sin θ; √(a²+x²): x = a·tan θ; √(x²-a²): x = a/cos θ - три канонических случая
- cos²x = (1+cos 2x)/2 - через эту формулу интегрируются четные степени косинуса
- Замена Вейерштрасса t = tan(x/2): sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1-t²)/(1+t²) - рационализирует любой тригонометрический интеграл
- Гауссовский интеграл ∫e^{-x²}dx = √π вычисляется через переход к полярным координатам и подстановку u = r²
Связанные темы
Тригонометрические подстановки связывают тригонометрию с математическим анализом:
- Обратные тригонометрические функции — arcsin, arctan появляются при обратной замене в ответах
- Сферическая тригонометрия — Интегрирование на сфере использует те же подстановки