Квантовые вычисления

Квантовые вентили

Цели урока

Понимать Hadamard как создание равной суперпозиции и квантового параллелизма
Понимать CNOT как источник запутанности и Bell states
Различать Pauli X/Y/Z по действию на сфере Блоха
Понимать rotation gates как универсальный набор и стоимость T-gate в fault-tolerant QC

Предварительные знания

Квантовые биты (кубиты)

2019. Google Sycamore: 200 секунд на задачу, для которой Summit (лучший классический суперкомпьютер) нужно 10 000 лет. Quantum supremacy. 2023: IBM Eagle 127 кубитов. 2024: Google Willow 105 кубитов с T1 > 100 мкс. Гонка за квантовым преимуществом идёт в реальном времени - и вся она строится из четырёх типов вентилей.

**IBM Quantum Eagle (127 кубитов)** - gate set {CX, Rz, sqrt(X), X}, fidelity 2Q gates ~99.5%, доступен через IBM Cloud API
**Google Willow (105 кубитов, 2024)** - fidelity 2Q ~99.7%, below-threshold error correction впервые продемонстрирован
**Алгоритм Шора** - разложение RSA-2048 за часы; строится из H, CNOT, QFT (квантовое преобразование Фурье) - цепочка вентилей
**Квантовая криптография BB84** - использует H для создания суперпозиций и случайных ключей; применяется в банках Китая и Швейцарии
**T-gate стоимость** - один logical T-gate требует ~1000 физических кубитов при surface code error correction; это главный bottleneck

Дойч и идея универсального квантового компьютера

В 1985 году Дэвид Дойч из Оксфорда опубликовал работу "Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer". Он первым формально описал квантовую машину Тьюринга и показал что любое унитарное преобразование можно разложить на дискретный набор гейтов. В 1989 он же ввёл модель quantum circuits с одно- и двухкубитными гейтами. В 1995 Барренко, Беннетт, Клив и другие доказали что CNOT плюс произвольные однокубитные гейты дают универсальный набор - это и есть фундамент всей gate-based архитектуры от IBM Q до Google Sycamore.

Hadamard gate: создание суперпозиции

2019. Google Sycamore завершает квантовое вычисление за 200 секунд. Summit - лучший классический суперкомпьютер - потратил бы 10 000 лет. Фундамент этого преимущества - **Hadamard gate**. Он берёт кубит из |0⟩ на северном полюсе сферы Блоха и отправляет на экватор: равная суперпозиция |0⟩ и |1⟩ одновременно. Алгоритмы Дойча, Гровера, Шора - все начинаются с Hadamard на каждый кубит.

**Квантовый параллелизм через Hadamard:** N кубитов в |0...0⟩ после H на каждый дают равную суперпозицию всех $2^N$ состояний. 10 кубитов - 1024 состояния одновременно. 100 кубитов - больше атомов во Вселенной. IBM Eagle (127 кубитов) и Google Willow (105 кубитов, 2024) - это не эксперименты. Это реальные машины с реальными вентилями в облаке прямо сейчас.

H^2 = I означает: Hadamard - **свой собственный обратный**. Это следствие унитарности - всё квантовое обратимо. Классический AND (два бита внутрь, один наружу) навсегда теряет информацию. Квантовый Hadamard - нет. Это не архитектурное решение, это следствие квантовой механики.

Что произойдёт при последовательном применении H три раза к |0⟩? H·H·H|0⟩ = ?

CNOT: двухкубитный вентиль

Один кубит - интересно. Два кубита, которые **связаны** - это уже квантовое преимущество. **CNOT** (Controlled-NOT) переключает второй кубит (target), только если первый (control) равен |1⟩. Звучит скромно. Но когда control в суперпозиции - CNOT создаёт запутанность. Состояние, которое не разложить на два независимых кубита.

Когда control в суперпозиции, CNOT создаёт **запутанность**: H|0⟩ tensor |0⟩ = (|0⟩+|1⟩)/sqrt(2) tensor |0⟩ - после CNOT получаем (|00⟩+|11⟩)/sqrt(2) - Bell state. Максимально запутанное состояние. Измерение одного кубита мгновенно определяет второй, где бы он ни находился. На этом строится квантовая криптография (BB84) и квантовая телепортация.

**CNOT + однокубитные вентили = универсальный набор.** Любое квантовое вычисление разлагается на эту комбинацию. Аналог: любая булева функция через NAND. На IBM Eagle fidelity CNOT - 99-99.5%. Однокубитные вентили - 99.9%+. Количество CNOT в схеме - основная метрика качества квантового алгоритма.

Применяем H к первому кубиту, затем CNOT. Начальное состояние |00⟩. Результат?

Pauli gates: X, Y, Z

Питер Шор, 1994 - вентили против RSA

В 1994 году математик Bell Labs Питер Шор показал: квантовый компьютер может разложить число на простые множители за полиномиальное время. Алгоритм Шора строится из вентилей Адамара, управляемых Паули-ротаций и квантового преобразования Фурье. RSA-2048 держится на задаче, которую классике нужны миллиарды лет. Квантовому Шору - часы. Это было 1994 - когда квантовых компьютеров ещё не было. Сейчас IBM Eagle 127 кубитов. Pauli gates - кирпичи этого будущего.

Три матрицы Паули - базовые кирпичики квантовых вычислений. Каждая - поворот на $\pi$ (180 градусов) вокруг одной оси сферы Блоха: **X** (ось x), **Y** (ось y), **Z** (ось z). X - квантовый NOT. Z - невидимый flip фазы. Y - оба сразу, с комплексными амплитудами.

Gate	Матрица	Действие	На сфере Блоха
X (NOT)	[[0,1],[1,0]]	\|0⟩↔\|1⟩	Поворот на pi вокруг x
Y	[[0,-i],[i,0]]	\|0⟩→i\|1⟩, \|1⟩→-i\|0⟩	Поворот на pi вокруг y
Z	[[1,0],[0,-1]]	\|0⟩→\|0⟩, \|1⟩→-\|1⟩	Поворот на pi вокруг z
I (identity)	[[1,0],[0,1]]	Ничего не делает	Нет вращения

**Pauli-Z** - самый «тихий»: вероятности P(0) и P(1) не меняются. Z|+⟩ = |-⟩. При z-измерении разницы не видно. Но фаза проявляется в последующих операциях и интерференции. Именно фазовые манипуляции через Z позволяют квантовому алгоритму Гровера усиливать правильный ответ за $\sqrt{N}$ шагов вместо N.

Матрицы Паули + единичная I образуют **базис** пространства 2x2 эрмитовых матриц. Любой однокубитный оператор: A = aI + bX + cY + dZ. Это фундамент описания квантового шума и коррекции ошибок - без которой квантовый компьютер распадается через микросекунды.

Кубит в состоянии |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/sqrt(2). Применяем Z-gate. Что изменится при z-измерении?

Rotation gates: произвольные вращения

Pauli - повороты строго на 180 градусов. Что если нужно 30 или 47? **Rotation gates** Rx(theta), Ry(theta), Rz(theta) вращают кубит на произвольный угол. С CNOT они образуют **универсальный набор**. Любое квантовое вычисление - разложение на эти примитивы. IBM Quantum даёт {CX, Rz, sqrt(X), X, I}: Qiskit компилирует любую схему в эти четыре.

Gate	Матрица	Частный случай
Rx(theta)	cos(theta/2)I - i*sin(theta/2)X	Rx(pi) ~ X (NOT)
Ry(theta)	cos(theta/2)I - i*sin(theta/2)Y	Ry(pi) ~ Y
Rz(phi)	diag(e^(-iphi/2), e^(iphi/2))	Rz(pi) ~ Z (phase)
S gate	diag(1, i) = Rz(pi/2)	sqrt(Z)
T gate	diag(1, e^(ipi/4)) = Rz(pi/4)	sqrt(S), ключевой для fault-tolerant QC

**T-gate - самый дорогой вентиль** в fault-tolerant квантовых компьютерах. Теорема Соловьёва-Китаева: любое вращение аппроксимируется конечной последовательностью H и T gates. Но каждый T требует сотни физических кубитов для error correction. Стоимость квантового алгоритма считается в T-gate count. Поэтому современные компиляторы минимизируют T в первую очередь.

На реальном IBM Quantum: набор {CX, Rz, sqrt(X), X, I}. Все остальные вентили компилятор Qiskit **разлагает** в эти базисные. Чем меньше gate count (особенно CX) - тем меньше ошибок. Google Willow 105 кубитов (2024): fidelity 2-qubit gates ~99.7%. Это уже production-качество для некоторых задач.

Квантовые вентили - это классические вентили с суперпозицией на входе

Квантовые вентили - унитарные (обратимые) матричные преобразования. Они сохраняют длину вектора состояния и всегда обратимы, в отличие от классических AND/OR.

Классический AND: 1,1→1, но 0,1→0 и 1,0→0 - нельзя восстановить вход по выходу. Квантовые вентили: U†U = I. Каждый gate обратим - U† отменяет U. Необратимость появляется только при измерении.

Ry(pi/2) применён к |0⟩. Какое состояние получится?

Ключевые идеи

**Hadamard** (H) создаёт суперпозицию: H|0⟩ = |+⟩; H² = I; N кубитов → 2^N состояний одновременно
**CNOT** - двухкубитный gate; при control в суперпозиции создаёт запутанность; Bell state = (|00⟩+|11⟩)/sqrt(2)
**Pauli X, Y, Z** - повороты на pi; X = NOT, Z = phase flip, невидимый при z-измерении но критичный для алгоритма Гровера
**Rotation gates** {Rx, Ry, Rz} + CNOT = универсальный набор; T-gate - самый дорогой при fault-tolerant вычислениях
**Fidelity реальных машин**: однокубитные ~99.9%, CNOT ~99-99.5%; gate count (особенно CNOT/T) = основная метрика качества алгоритма
**Обратимость** - все квантовые вентили унитарны (U†U = I); необратимость появляется только при измерении

Связанные темы

Квантовые вентили - строительные блоки алгоритмов:

Кубиты — Вентили действуют на кубиты - вращения на сфере Блоха
Запутанность и Bell States — H + CNOT создают Bell states - максимально запутанные пары
Линейная алгебра: матрицы — Квантовые вентили - унитарные матрицы; умножение = последовательное применение

Вопросы для размышления

Почему классические вентили необратимы (AND теряет информацию), а квантовые - обязательно обратимы? Что произойдёт, если нарушить унитарность?
T-gate - самый дорогой для fault-tolerant QC. Почему именно он, а не CNOT?
Если квантовые вентили - просто умножение матриц, почему квантовые компьютеры не симулируются классическими? Где bottleneck?

Связанные уроки

qc-01 — Кубиты и сфера Блоха - фундамент для вентилей
qc-03 — H + CNOT создают Bell states - основа квантовой связи
la-33-la-in-qm — Унитарные матрицы квантовых вентилей - это линейная алгебра над C
la-13-eigenvectors — Собственные значения Pauli матриц объясняют результаты измерений
qc-05 — Схемы из вентилей - основа алгоритма Гровера
arch-02-logic-gates — Классические вентили vs квантовые - параллель обратимости