Квантовые вычисления

Запутанность и Bell States

Цели урока

Понять, что такое запутанность и почему её нельзя описать как произведение состояний
Знать все 4 Bell states и их корреляционные свойства
Понять парадокс EPR и что доказывает нарушение неравенства Белла
Объяснить no-cloning theorem и почему он делает QKD безопасным

Предварительные знания

Quantum Gates

2022 год. Нобелевский комитет вручает премию по физике трём экспериментаторам - за то, что они доказали: Эйнштейн ошибался. 87 лет потребовалось, чтобы проверить его интуицию экспериментом. Квантовая запутанность оказалась реальной - и сегодня Китай гоняет запутанные фотоны по оптоволокну на 1000 км для банковской криптографии.

**Квантовая криптография (QKD):** банки в Китае используют запутанные фотоны для безопасной передачи ключей шифрования по оптоволокну на 1000+ км
**Квантовые компьютеры:** все полезные квантовые алгоритмы - Шор, Гровер - требуют запутанности между кубитами
**Квантовый интернет:** разрабатываются сети quantum repeater-ов для глобального распределения запутанности

От парадокса к Нобелевской премии

1935 - Einstein, Podolsky, Rosen публикуют EPR-парадокс, утверждая что квантовая механика неполна. 1964 - Джон Белл выводит математический тест: если скрытые переменные существуют, корреляции ограничены. 1982 - Ален Аспе проводит первый убедительный эксперимент: $|S| \approx 2.7 > 2$. 2015 - loophole-free эксперимент окончательно закрывает вопрос. 2022 - Нобелевская премия Aspect, Clauser, Zeilinger. 87 лет от парадокса до приза.

Квантовая запутанность

Два кубита запутаны, если их состояние нельзя описать как произведение двух отдельных состояний. Они - единое целое, даже на расстоянии миллиардов километров. Измерив один, мгновенно узнаётся состояние другого. Но это не телепатия - это корреляция, заложенная при создании пары.

**Запутанность** (entanglement) - квантовая корреляция, не имеющая классического аналога. Если два кубита в состоянии $(|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt{2}$, измерение первого кубита мгновенно определяет результат второго: оба дадут 0 или оба 1. Но какой именно результат - случаен (50/50).

Ключевой парадокс: результаты коррелированы, но случайны. Нельзя "послать" 0 или 1 Бобу через запутанность, потому что отправитель не контролирует свой результат. Информация не передаётся - только корреляция. Это **no-signaling theorem**.

Два кубита в состоянии $(|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt{2}$. Алиса измеряет свой и получает $|1\rangle$. Что Боб получит при измерении?

Четыре Bell States

Существует ровно **четыре** максимально запутанных состояния двух кубитов - **Bell states** (состояния Белла). Они образуют ортонормированный базис 4-мерного пространства двух кубитов и являются "единицей запутанности" - ebit.

Bell State	Формула	Корреляция измерений	Создание из \|00⟩
\|Phi+⟩	(\|00⟩+\|11⟩)/sqrt(2)	Совпадают: 00 или 11	H → CNOT
\|Phi-⟩	(\|00⟩-\|11⟩)/sqrt(2)	Совпадают: 00 или 11	X → H → CNOT
\|Psi+⟩	(\|01⟩+\|10⟩)/sqrt(2)	Противоположны: 01 или 10	H → CNOT → X
\|Psi-⟩	(\|01⟩-\|10⟩)/sqrt(2)	Противоположны: 01 или 10	X → H → CNOT → X

**Bell states - базис!** Любое двухкубитное состояние можно разложить по Bell states, как любой вектор - по координатным осям. **Superdense coding** использует это: передавая 1 кубит из запутанной пары, можно закодировать 2 классических бита - выбирая, в какой из 4 Bell states перевести пару.

В состоянии $|\Psi^+\rangle = (|01\rangle+|10\rangle)/\sqrt{2}$ Алиса измеряет $|0\rangle$. Что получит Боб?

Парадокс EPR

1935 год. Эйнштейн, Подольский и Розен публикуют статью: квантовая механика **неполна**. Аргумент прямой - если измерение одного кубита мгновенно определяет состояние другого на другом конце галактики, значит результат был предопределён заранее. Иначе нарушается локальность. Эйнштейн был уверен, что нашёл дыру в теории.

"Жуткое действие на расстоянии" (1935)

Эйнштейн назвал запутанность "spukhafte Fernwirkung" - жуткое действие на расстоянии. Он считал, что природа не может быть настолько странной: "Бог не играет в кости". Но 30 лет спустя Джон Белл показал, что Эйнштейн ошибался - и в 2022 году за это дали Нобелевскую премию.

**Неравенство Белла** (1964) - математический тест: если результаты измерений предопределены (скрытые переменные), корреляции ограничены значением $S \leq 2$. Квантовая механика предсказывает нарушение: $S \leq 2\sqrt{2}$. Эксперименты подтвердили квантовую механику - Нобелевская премия 2022 (Aspect, Clauser, Zeilinger).

Парадокс разрешён: запутанность **не передаёт информацию** быстрее света. Результат случаен - нельзя выбрать 0 или 1. Только при сравнении результатов по классическому каналу (медленнее света) видна корреляция. No-signaling theorem формально доказывает: запутанность не нарушает теорию относительности. И именно это делает QKD безопасным - физика гарантирует секретность.

Неравенство Белла экспериментально нарушается. Что это доказывает?

Теорема о невозможности клонирования

В классическом мире копирование бесплатно: ctrl+c, ctrl+v. Квантовое состояние **невозможно скопировать**. Это не технологическое ограничение - это фундаментальный закон природы, прямое следствие линейности квантовой механики. Доказательство занимает 5 строк математики.

Операция	Классический бит	Кубит
Чтение	Без разрушения	Разрушает суперпозицию (измерение)
Копирование	Бесплатно (copy)	Невозможно (no-cloning)
Удаление	Просто (delete)	Невозможно для чистых состояний (no-deleting)
Передача	Можно с копией	Только телепортация (original уничтожается)

**Следствия no-cloning:** 1. Квантовая криптография безопасна - подслушиватель не может скопировать кубит, не нарушив его. 2. Квантовая телепортация не нарушает теорию относительности - оригинал уничтожается, дублирования нет. 3. Квантовая коррекция ошибок работает не через копирование, а через запутанность.

No-cloning кажется ограничением - но это **оружие**. Если Ева перехватывает кубит в квантовом канале, она не может его скопировать и передать дальше. Любая попытка измерить изменит состояние, и Алиса с Бобом это обнаружат. Безопасность QKD - не математическая гипотеза, а физический закон.

Запутанность позволяет мгновенно передавать информацию на любое расстояние

Запутанность создаёт корреляцию, но не передаёт информацию. Результат измерения случаен и не контролируется отправителем.

Результат измерения случаен (0 или 1 с равной вероятностью) - нельзя выбрать, какой результат получить. Только при сравнении результатов по классическому каналу (со скоростью не выше c) обнаруживается корреляция. Reduced density matrix Боба не зависит от действий Алисы - это математически доказуемо.

Можно ли клонировать кубит в известном состоянии $|0\rangle$?

Ключевые идеи

**Запутанность** - нефакторизуемое состояние двух+ кубитов; измерение одного мгновенно определяет другой
**4 Bell states** - максимально запутанный базис для 2 кубитов: |Phi+/-⟩ (совпадают), |Psi+/-⟩ (противоположны)
**EPR и неравенство Белла:** эксперименты подтвердили квантовую механику и опровергли локальные скрытые переменные (Нобель 2022)
**No-cloning:** невозможно скопировать неизвестное квантовое состояние - фундамент квантовой криптографии

Связанные темы

Запутанность - ресурс для квантовых протоколов и алгоритмов:

Квантовые вентили — H + CNOT создают запутанность из незапутанных кубитов
Кубиты — Запутанность - свойство систем из 2+ кубитов, не одного
Алгоритм Шора — Запутанность между регистрами - ключевой ресурс алгоритма

Вопросы для размышления

Если запутанность не передаёт информацию, чем она полезна для вычислений? Какую роль играет запутанность в алгоритме Шора?
No-cloning запрещает копирование. Но квантовые компьютеры используют error correction - не противоречит ли это no-cloning?
Почему Эйнштейн считал запутанность абсурдной, а сегодня её используют в технологиях?

Связанные уроки

qc-02 — Гейты H и CNOT создают запутанность - без них нет Bell states
qc-01 — Запутанность - свойство многокубитных систем, основа в qc-01
qc-04 — Алгоритм Гровера использует запутанность для квадратичного ускорения
qc-05 — Алгоритм Шора требует запутанности между регистрами
sec-01 — QKD - прямое применение no-cloning и запутанности
it-01 — Информация Шеннона и квантовая информация - параллельные теории
nm-01 — Численная линейная алгебра для понимания унитарных матриц
prob-05-independence