Треугольники: свойства и теоремы

Теорема Пифагора написана в 500 году до н.э. Она же исполняется 10 миллиардов раз в секунду в дата-центрах Google, когда k-NN ищет ближайших соседей в векторном пространстве. Евклидово расстояние между двумя эмбеддингами - это гипотенуза прямоугольного треугольника в 1536-мерном пространстве. Треугольник не устарел.

• **k-NN и векторный поиск:** Qdrant, FAISS, pgvector вычисляют евклидово расстояние - формулу Пифагора в n измерениях - для поиска по миллиарду документов
• **3D-рендеринг:** Pixar, Unity, Unreal - каждая 3D-модель это mesh из треугольников. GPU оптимизирован под рендеринг треугольников на аппаратном уровне. Формула площади Герона для триангулированных поверхностей
• **AUC-ROC:** Площадь под кривой ROC - геометрическая площадь, считается через трапецоидное правило. Каждая трапеция - два треугольника

Предварительные знания

• Точки, прямые, углы

Равенство треугольников

**Треугольник жёсткий.** Квадрат можно «сплющить» в ромб, не меняя длин сторон. Треугольник - нельзя. Это свойство называется жёсткостью конструкции, и именно поэтому мосты, башни и фермы строят из треугольников. За жёсткостью стоит математика: три стороны однозначно определяют треугольник.

Два треугольника **конгруэнтны** (равны), если один можно наложить на другой с совпадением всех сторон и углов. Для доказательства не нужно проверять все 6 элементов - достаточно трёх правильно выбранных.

SSS - три стороны равны. SAS - две стороны и угол между ними. ASA - сторона и два прилежащих угла. AAS - два угла и сторона, не заключённая между ними. SSA - НЕ признак (неоднозначность).

Почему SSA не работает? При данных сторонах $a$, $b$ и угле $\angle A$ (не между ними) - окружность радиуса $b$ с центром в вершине $B$ может пересечь основание в двух точках, одной, или не пересечь вовсе. Три исхода вместо одного - признака нет.

В вычислительной геометрии конгруэнтность - это изометрия: поворот, отражение, параллельный перенос. В системах распознавания объектов (SLAM в роботах, 3D-реконструкция) именно поиск конгруэнтных пар точек позволяет выравнивать облака точек из разных снимков - алгоритм ICP (Iterative Closest Point).

Подобие треугольников

Два треугольника **подобны**, если они одинаковой формы, но разного масштаба. Все углы равны, все стороны пропорциональны с коэффициентом $k$. При $k=1$ подобие превращается в конгруэнтность.

Самый простой признак - **AA**: достаточно двух равных углов. Третий следует автоматически из того, что сумма углов треугольника равна $180°$. Из AA вытекает вся тригонометрия: отношения сторон прямоугольного треугольника зависят только от угла, а не от размера - именно потому что все прямоугольные треугольники с одним острым углом подобны.

Подобие - основа **data augmentation** в машинном обучении. Когда модель компьютерного зрения обучается на изображениях кошек, тренировочный набор дополняется повёрнутыми, масштабированными и отражёнными версиями тех же фотографий. Математически это преобразования подобия в 2D: поворот, масштаб, отражение. NeRF (Neural Radiance Fields) идёт дальше - учит непрерывное 3D-представление сцены, инвариантное к ракурсу именно потому, что физически корректные проекции связаны подобием.

Теорема Пифагора

**Теорема Пифагора - самая используемая формула в машинном обучении.** Евклидово расстояние между двумя точками $p = (x_1, y_1)$ и $q = (x_2, y_2)$ - это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $(x_2 - x_1)$ и $(y_2 - y_1)$. В n-мерном пространстве: $d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (p_i - q_i)^2}$. Каждый раз, когда k-NN классификатор сравнивает два объекта - он считает эту формулу.

Известно более 400 доказательств теоремы. Одно из них в 1876 году предложил будущий президент США Джеймс Гарфилд - через трапецию. Элегантное доказательство через подобие: опускаем высоту из прямого угла на гипотенузу. Получаем два треугольника, подобных исходному. Из пропорций подобия: $a^2/c + b^2/c = c$, откуда $a^2 + b^2 = c^2$.

**Обратная теорема**: если $a^2 + b^2 = c^2$ - треугольник прямоугольный; если $a^2 + b^2 < c^2$ - тупоугольный; если $a^2 + b^2 > c^2$ - остроугольный. Способ определить тип треугольника только по числам, без построений.

**Теорема косинусов** - обобщение Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. При $C = 90°$ имеем $\cos 90° = 0$ и получаем $c^2 = a^2 + b^2$. Теорема косинусов вычисляет угол между двумя векторами - это та же формула, что cosine similarity в векторных базах данных.

Площадь треугольника

**AUC-ROC** - метрика качества классификатора - это буквально площадь под кривой. Считается через формулу трапеций. Каждая трапеция делится диагональю на два треугольника. Площадь треугольника присутствует в основе одной из самых важных метрик ML.

$S = \frac{1}{2}bh$ - базовая формула. Треугольник - половина параллелограмма с теми же основанием и высотой. **Формула Герона** замечательна тем, что работает только с длинами сторон - никаких углов, никаких высот. Герон Александрийский вывел её в I веке н.э., и она до сих пор используется в вычислительной геометрии для расчёта площади триангулированных поверхностей.

Формула через координаты - частный случай **формулы шнурка** (Shoelace formula), работающей для любого многоугольника с $n$ вершинами. Знак выражения без модуля указывает ориентацию обхода: положительный - против часовой стрелки, отрицательный - по часовой. В компьютерной графике этот знак используется для определения, смотрит ли нормаль грани к камере или от неё (face culling).

Полупериметр $p = (a+b+c)/2$ из формулы Герона встречается и в других местах: радиус вписанной окружности $r = S/p$, радиус описанной $R = abc/(4S)$. Простые соотношения, за которыми стоит богатая геометрия.

Ключевые идеи

• **Конгруэнтность:** SSS, SAS, ASA, AAS - четыре признака; SSA - не признак (ambiguous case: 0, 1 или 2 треугольника)
• **Подобие:** AA достаточно (третий угол из суммы 180°); площади $\sim k^2$, объёмы $\sim k^3$
• **Пифагор:** $a^2+b^2=c^2$ для прямоугольного; обобщение - теорема косинусов $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
• **Площадь:** $\frac{1}{2}bh$, $\frac{1}{2}ab\sin C$, Герон $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, формула шнурка - 4 инструмента

Связанные темы

Треугольники - фундамент геометрии, связанный со многими областями:

• Точки, прямые, углы — Базовые элементы, из которых строятся треугольники
• Четырёхугольники и многоугольники — Любой многоугольник триангулируется - разбивается на треугольники
• Скалярное произведение — Евклидово расстояние = теорема Пифагора в n-мерном пространстве
• Тригонометрия — sin, cos, tan - отношения сторон прямоугольного треугольника

Вопросы для размышления

• Почему треугольник жёсткий, а квадрат - нет? Что именно в SSS делает форму однозначной?
• Теорема Пифагора написана в 500 до н.э. и исполняется в k-NN миллиарды раз в день. Что позволило формуле пережить 2500 лет технологических изменений?
• Формула Герона даёт площадь только по трём сторонам. Можно ли вывести формулу площади только по трём углам (без длин сторон)?

Связанные уроки

• la-02-dot-product — Евклидово расстояние - гипотенуза через теорему Пифагора в n-мерном пространстве
• trig-01 — Тригонометрия строится поверх подобия прямоугольных треугольников
• calc-09-applications — Оптимизация с геометрией: минимальная длина, максимальная площадь
• geo-03 — Любой многоугольник - триангуляция треугольников
• la-01-vectors-intro — Векторные координаты - алгебраическое продолжение геометрии треугольника
• trig-02